Содержание:
- 1 Вивчаємо фізику та не тільки
- 1.1 Модуль числа
- 1.2 Выводы
- 1.2.0.1 Решение уравнений (примеры)
- 1.2.0.1.1 1. – x = 7 вместо – x и 7 напишем противоположные им числа, используя знак «–» –(– x) = – 7 воспользуемся правилом, что – (–а) = а получим x = – 7
- 1.2.0.1.2 2. – x = – 10 –(– x) = –(– 10) x = 10
- 1.2.0.1.3 3. x = –(– 32) x = 32
- 1.2.0.1.4 4. | x | = 4 x = 4 или x = – 4 Ответ: 4; – 4
- 1.2.0.1.5 5. | x | = 0 x = 0 Ответ: 0
- 1.2.0.1.6 6. | y | = – 8 модуль не может быть отрицательным числом, а значит данное уравнение не имеет решения Ответ: нет корней
- 1.2.0.1.7 7. | – x | = 12 вспомним второе свойство модуля, что | – а | = | а | = а, тогда | x | = 12 x = 12 или x = – 12 Ответ: 12; – 12
- 1.2.0.1.8 8. | y | – 2 = 12 подобные уравнения решаются как простые уравнения, только с учётом модуля | y | = 12 + 2 | y | = 14 y = 14 или y = – 14 Ответ: 14; – 14
- 1.2.0.1.9 9. 10 – 2| x | = 4 2| x | = 10 – 4 2| x | = 6 | x | = 6 : 2 | x | = 3 x = 3 или x = – 3 Ответ: 3; – 3
- 1.2.0.1.10 То есть при решении уравнений, содержащих модуль мы получим три вида ответа : два корня (если под знаком модуля положительное число) , один корень (если под знаком модуля 0) нет корней (если под знаком модуля отрицательное число) .
- 1.2.0.2 Решение простейших неравенств, содержащих модуль
- 1.2.0.1 Решение уравнений (примеры)
Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число:
Модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число:
Короче это записывают так:
Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).
Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5
Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6
Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули:
Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков:
На практике используют различные свойства модулей:
|а| ? 0
|а·b| = |а| · |b|
|а| n = а n , n є Z, a ? 0, n > 0
|а| = | — а|
|а + b| ? |а| + |b|
|а·q| = q·|а| , где q — положительное число
|а| 2 = а 2
Значение |a — b| равно расстоянию на числовой прямой между точками, изображающими числа a и b.
Пример 1.
, т.к.
, т.к.
Пример 2.
Упростить выражение , если a 0.
Но тогда |?3 — 2| = -(?3 — 2) = 2- ?3 ,
В итоге получаем
Здесь Вы нашли ответ на вопрос : что такое модуль числа , и какие его свойства.
Может. Но это довольно специальный случай, который рассматривается в неевклидовых геометриях. Там вместо модуля применяется понятие метрики пространства. Вот метрика может быть и положительной, и отрицательной, и нулевой.
Если ж не забираться в дебри заумных гитик, а оставаться в рамках нашего обычного евклидового мира или же вообще рассматривать "чистую математику" вне связи с геометрией — например, комплексные числа, — то модуль отрицательным быть не может. По определению.
Вивчаємо фізику та не тільки
Противоположные числа – это числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Выражение –а обозначает, что это число противоположное числу а.
Например, 7 и – 7;
41 и – 41 и т.д.
Число 0 противоположно самому себе!
То есть, для того, чтобы показать противоположность чисел в математике используют знак « – ».
Приписав знак « – » перед положительным числом 5, мы получим отрицательное число – 5.
Приписав знак « – » перед отрицательным числом – 5, мы получим противоположное ему положительное число 5, то есть – (–5) = 5.
На координатной прямой точки, у которых противоположные координаты, расположены на одинаковом расстоянии от начала отсчёта.
AO = OC
BO = OD
Модуль числа
Модуль числа – это расстояние (в единичных отрезках) от начала отсчёта до точки, которая изображает это число на координатной прямой.
Точки А(– 4) и В (4) отдалены от начала отсчёта на 4 единичных отрезков, а числа – 4 и 4 имеют одинаковые модули, равные 4.
Модуль числа а обозначают | а |
Так как модуль – это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным, то модуль числа не может быть отрицательным числом.
Модулем положительного числа и нуля является тоже самое число, а модулем отрицательного числа – противоположное ему число:
| а | = а, если а ≥ 0 (если а – неотрицательное число)
| а | = – а, если а
Выводы
Свойства модуля числа:
- Модуль числа не может быть отрицательным. Модуль числа всегда или положительное число или равен 0.
- Противоположные числа имеют равные модули.
Пример, | – 12 | = | 12 | = 12
Решение уравнений (примеры)
1. – x = 7
вместо – x и 7 напишем противоположные им числа, используя знак «–»
–(– x) = – 7
воспользуемся правилом, что – (–а) = а получим
x = – 7
2. – x = – 10
–(– x) = –(– 10)
x = 10
3. x = –(– 32)
x = 32
4. | x | = 4
x = 4 или x = – 4
Ответ: 4; – 4
5. | x | = 0
x = 0
Ответ: 0
6. | y | = – 8
модуль не может быть отрицательным числом, а значит данное уравнение не имеет решения
Ответ: нет корней
7. | – x | = 12
вспомним второе свойство модуля, что | – а | = | а | = а, тогда
| x | = 12
x = 12 или x = – 12
Ответ: 12; – 12
8. | y | – 2 = 12
подобные уравнения решаются как простые уравнения, только с учётом модуля
| y | = 12 + 2
| y | = 14
y = 14 или y = – 14
Ответ: 14; – 14
9. 10 – 2| x | = 4
2| x | = 10 – 4
2| x | = 6
| x | = 6 : 2
| x | = 3
x = 3 или x = – 3
Ответ: 3; – 3
То есть при решении уравнений, содержащих модуль мы получим три вида ответа :
два корня (если под знаком модуля положительное число) , один корень (если под знаком модуля 0)
нет корней (если под знаком модуля отрицательное число) .
Решение простейших неравенств, содержащих модуль
В 5 классе мы решали примеры с простейшими неравенствами. Линейные неравенства бывают строгие и нестрогие.
Строгие неравенства – это неравенства со знаками больше (>) или меньше ( a; x Примечание:
Число 0 не является решением этого неравества, так как 0 не является натуральным числом;
Число 9 не является решением этого неравества, так как данное неравенство строгое, то есть х строго меньше 9 и не может быть равным 9.
2. Какое наименьшее натуральное значение а удовлетворяет неравенство а > 12?
Решение.
Поскольку неравенство строгое, то число 13 является наименьшим натуральным значением а, которое удовлетворяет данному неравенству.
Ответ: 13
3. Какое наименьшее натуральное значение а удовлетворяет неравенство а ≥ 12?
Решение.
Поскольку неравенство нестрогое, то число 12 является наименьшим натуральным значением а, которое удовлетворяет данному неравенству.
Ответ: 12.
4. Найдите все натуральные значения x, при которых является правильным неравенство 2 2 и обозначте их на координатной прямой.
Решение.
Неравенство | x | > 2 эквивалентно x 2. Обозначим на координатной прямой точки, координаты которых удовлетворяют данному неравенству
Поскольку неравенство строгое, то числа – 2 и 2 не входят в множество целых чисел, при которых данное неравенство будет правильным. А на координатной прямой эти точки обозначаем в виде незакрашенной точки.
Ответ: х =
9. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству | x | ≥ 2 и обозначте их на координатной прямой.
Решение.
Неравенство | x | ≥ 2 эквивалентно x ≤ – 2 или x ≥ 2. Обозначим на координатной прямой точки, координаты которых удовлетворяют данному неравенству
Поскольку неравенство нестрогое, то числа – 2 и 2 входят в множество целых чисел, при которых данное неравенство будет правильным. А на координатной прямой эти точки обозначаем в виде закрашенной точки.
Ответ: х =
10. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству 1 Рубрика: Модуль числа | Добавить комментарий