Бывает ли модуль отрицательным

Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число:

Модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число:

Короче это записывают так:

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5

Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули:

Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков:

На практике используют различные свойства модулей:

|а| ? 0

|а·b| = |а| · |b|

|а| n = а n , n є Z, a ? 0, n > 0

|а| = | — а|

|а + b| ? |а| + |b|

|а·q| = q·|а| , где q — положительное число

|а| 2 = а 2

Значение |a — b| равно расстоянию на числовой прямой между точками, изображающими числа a и b.

Пример 1.

, т.к.

, т.к.

Пример 2.

Упростить выражение , если a 0.

Но тогда |?3 — 2| = -(?3 — 2) = 2- ?3 ,

В итоге получаем

Здесь Вы нашли ответ на вопрос : что такое модуль числа , и какие его свойства.

Может. Но это довольно специальный случай, который рассматривается в неевклидовых геометриях. Там вместо модуля применяется понятие метрики пространства. Вот метрика может быть и положительной, и отрицательной, и нулевой.

Если ж не забираться в дебри заумных гитик, а оставаться в рамках нашего обычного евклидового мира или же вообще рассматривать "чистую математику" вне связи с геометрией — например, комплексные числа, — то модуль отрицательным быть не может. По определению.

Вивчаємо фізику та не тільки

Противоположные числа – это числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Выражение –а обозначает, что это число противоположное числу а.

Например, 7 и – 7;
41 и – 41 и т.д.

Число 0 противоположно самому себе!

То есть, для того, чтобы показать противоположность чисел в математике используют знак « – ».

Приписав знак « – » перед положительным числом 5, мы получим отрицательное число – 5.

Приписав знак « – » перед отрицательным числом – 5, мы получим противоположное ему положительное число 5, то есть – (–5) = 5.

На координатной прямой точки, у которых противоположные координаты, расположены на одинаковом расстоянии от начала отсчёта.

AO = OC
BO = OD

Модуль числа

Модуль числа – это расстояние (в единичных отрезках) от начала отсчёта до точки, которая изображает это число на координатной прямой.

Точки А(– 4) и В (4) отдалены от начала отсчёта на 4 единичных отрезков, а числа – 4 и 4 имеют одинаковые модули, равные 4.

Модуль числа а обозначают | а |

Так как модуль – это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным, то модуль числа не может быть отрицательным числом.

Модулем положительного числа и нуля является тоже самое число, а модулем отрицательного числа – противоположное ему число:

| а | = а, если а ≥ 0 (если а – неотрицательное число)

| а | = – а, если а

Выводы

Свойства модуля числа:

1. Модуль числа не может быть отрицательным. Модуль числа всегда или положительное число или равен 0.

1. Противоположные числа имеют равные модули.

Пример, | – 12 | = | 12 | = 12

Решение уравнений (примеры)

1. – x = 7
вместо – x и 7 напишем противоположные им числа, используя знак «–»
–(– x) = – 7
воспользуемся правилом, что – (–а) = а получим
x = – 7

2. – x = – 10
–(– x) = –(– 10)
x = 10

3. x = –(– 32)
x = 32

4. | x | = 4
x = 4 или x = – 4
Ответ: 4; – 4

5. | x | = 0
x = 0
Ответ: 0

6. | y | = – 8
модуль не может быть отрицательным числом, а значит данное уравнение не имеет решения
Ответ: нет корней

7. | – x | = 12
вспомним второе свойство модуля, что | – а | = | а | = а, тогда
| x | = 12
x = 12 или x = – 12
Ответ: 12; – 12

8. | y | – 2 = 12
подобные уравнения решаются как простые уравнения, только с учётом модуля
| y | = 12 + 2
| y | = 14
y = 14 или y = – 14
Ответ: 14; – 14

9. 10 – 2| x | = 4
2| x | = 10 – 4
2| x | = 6
| x | = 6 : 2
| x | = 3
x = 3 или x = – 3
Ответ: 3; – 3

То есть при решении уравнений, содержащих модуль мы получим три вида ответа :
два корня (если под знаком модуля положительное число) , один корень (если под знаком модуля 0)
нет корней (если под знаком модуля отрицательное число) .

Решение простейших неравенств, содержащих модуль

В 5 классе мы решали примеры с простейшими неравенствами. Линейные неравенства бывают строгие и нестрогие.
Строгие неравенства – это неравенства со знаками больше (>) или меньше ( a; x Примечание:
Число 0 не является решением этого неравества, так как 0 не является натуральным числом;
Число 9 не является решением этого неравества, так как данное неравенство строгое, то есть х строго меньше 9 и не может быть равным 9.

2. Какое наименьшее натуральное значение а удовлетворяет неравенство а > 12?

Решение.
Поскольку неравенство строгое, то число 13 является наименьшим натуральным значением а, которое удовлетворяет данному неравенству.
Ответ: 13

3. Какое наименьшее натуральное значение а удовлетворяет неравенство а ≥ 12?

Решение.
Поскольку неравенство нестрогое, то число 12 является наименьшим натуральным значением а, которое удовлетворяет данному неравенству.
Ответ: 12.

4. Найдите все натуральные значения x, при которых является правильным неравенство 2 2 и обозначте их на координатной прямой.

Решение.
Неравенство | x | > 2 эквивалентно x 2. Обозначим на координатной прямой точки, координаты которых удовлетворяют данному неравенству

Поскольку неравенство строгое, то числа – 2 и 2 не входят в множество целых чисел, при которых данное неравенство будет правильным. А на координатной прямой эти точки обозначаем в виде незакрашенной точки.

Ответ: х =

9. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству | x | ≥ 2 и обозначте их на координатной прямой.

Решение.
Неравенство | x | ≥ 2 эквивалентно x ≤ – 2 или x ≥ 2. Обозначим на координатной прямой точки, координаты которых удовлетворяют данному неравенству

Поскольку неравенство нестрогое, то числа – 2 и 2 входят в множество целых чисел, при которых данное неравенство будет правильным. А на координатной прямой эти точки обозначаем в виде закрашенной точки.

Ответ: х =

10. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству 1 Рубрика: Модуль числа | Добавить комментарий