Чему равно среднее геометрическое

Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:

G ( x 1 , x 2 , … , x n ) = x 1 x 2 ⋯ x n n = ( ∏ i = 1 n x i ) 1 / n <displaystyle G(x_<1>,x_<2>,ldots ,x_)=<sqrt[]<1>x_<2>cdots x_>>=left(prod _^x_
ight)^<1/n>>

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным [1] , поскольку среднее геометрическое g <displaystyle g> двух чисел a 1 <displaystyle a_<1>> и a 2 <displaystyle a_<2>> обладает следующим свойством: a 1 g = g a 2 <displaystyle <frac <1>>>=<frac <2>>>> , то есть среднее геометрическое относится к первому числу так же как второе число к среднему геометрическому.

Содержание

Свойства [ править | править код ]

  • Так же, как и любое другое среднее значение, с.г. лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:

min ⁡ ( x 1 , x 2 , … , x n ) ⩽ G ( x 1 , x 2 , … , x n ) ⩽ max ⁡ ( x 1 , x 2 , … , x n ) <displaystyle operatorname (x_<1>,x_<2>,ldots ,x_)leqslant G(x_<1>,x_<2>,ldots ,x_)leqslant operatorname (x_<1>,x_<2>,ldots ,x_)>

  • Среднее геометрическое двух чисел a = A 0 , b = G 0 <displaystyle a=A_<0>,b=G_<0>>является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:

A i = A i − 1 + G i − 1 2 , G i = A i − 1 G i − 1 <displaystyle A_=<frac +G_><2>>,quad G_=<sqrt G_>>>

  • Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического[2] .

Среднее геометрическое взвешенное [ править | править код ]

Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел x 1 , … , x n <displaystyle x_<1>,ldots ,x_

> с вещественными весами w 1 , … , w n <displaystyle w_<1>,ldots ,w_> определяется как

x ¯ = ( ∏ i = 1 n x i w i ) 1 / ∑ i = 1 n w i = exp ⁡ ( 1 ∑ i = 1 n w i ∑ i = 1 n w i ln ⁡ x i ) <displaystyle <ar >=left(prod _^

x_^>
ight)^<1/sum _^
w_>=quad exp left(<frac <1><sum _^w_>>;sum _^w_ln x_
ight)>

Читайте также:  Как добавить свои стикеры вконтакте

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

В геометрии [ править | править код ]

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

Расстояние до горизонта сферы есть среднее геометрическое между расстоянием до самой ближней точки сферы и расстоянием до самой дальней точки сферы.

Чтобы найти среднее геометрическое, нужно перемножить все числа и извлечь из них корень. Степень корня определяется количеством чисел.

Найти среднее геометрическое 2, 4 и 8 .

Обозначим

среднее геометрическое буквой « n ».

По определению выше найдем произведение всех чисел.
2 · 4 · 8 = 64

По условию нам дано 3 числа, значит корень, который мы будем извлекать из произведения будет третьей степени (кубический).

В итоге мы получаем формулу среднего геометрического:

Формула среднего геометрического

Интересный факт: среднее геометрическое всегда будет меньше среднего арифметического тех же чисел. За исключением случая, когда все взятые числа равны друг другу.

Для улучшения этой статьи желательно ? :
  • Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Статистические показатели
Описательная
статистика
Непрерывные
данные
Коэффициент сдвига Среднее (Арифметическое, Геометрическое, Гармоническое) · Медиана · Мода · Размах
Вариация Ранг · Среднеквадратическое отклонение · Коэффициент вариации · Квантиль (Дециль, Процентиль/Перцентиль/Центиль)
Моменты Математическое ожидание · Дисперсия · Асимметрия · Эксцесс
Дискретные
данные Частота · Таблица контингентности Статистический
вывод и
проверка
гипотез
Читайте также:  Microsoft visual c redistributable для windows 7
Статистический
вывод Доверительный интервал (Частотная вероятность) · Достоверный интервал (Байесовский вывод) · Статистическая значимость · Мета-анализ Планирование
эксперимента Генеральная совокупность · Планирование выборки · Районированная выборка · Репликация · Группировка · Чувствительность и специфичность Объём выборки Статистическая мощность · Мера эффекта · Стандартная ошибка Общая оценка Байесовская оценка решения · Метод максимального правдоподобия · Метод моментов нахождения оценок · Оценка минимального расстояния · Оценка максимального интервала Статистические
критерии Z-тест · t-критерий Стьюдента · Критерий Фишера · Критерий Пирсона (Хи-квадрат) · Тест Вальда · U-критерий Манна — Уитни · Критерий Уилкоксона · Критерий Краскела — Уоллиса · Критерий Кохрена · Критерий Лиллиефорса Анализ выживания Функция выживания · Оценка Каплана — Мейера · Логранк-тест · Интенсивность отказов · Пропорциональная модель опасностей Корреляция Коэффициент корреляции Пирсона · Ранг корреляций (Коэффициент Спирмана для ранга корреляций, Коэффициент тау Кендалла для ранга корреляций) · Переменная смешивания Линейные модели Основная линейная модель · Обобщённая линейная модель · Анализ вариаций · Ковариационный анализ Регрессия Линейная · Нелинейная · Непараметрическая регрессия · Полупараметрическая регрессия · Логистическая регрессия Столбчатая диаграмма · Совмещённая диаграмма · Диаграмма управления · Лесная диаграмма · Гистограмма · Q-Q диаграмма · Диаграмма выполнения · Диаграмма разброса · Стебель-листья · Ящик с усами

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Среднее геометрическое" в других словарях:

СРЕДНЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ — (gеomеtric mean) Корень N й степени из произведения членов множества N, состоящего из x1, x2. хN Среднее геометрическое записывается как (Пiхi)1/N. Среднее геометрическое определено только для случаев, когда все хi – положительные числа.… … Экономический словарь

СРЕДНЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ — (geometric mean) Величина, равная корню n й степени из произведения n данных величин. Например, средним геометрическим от 7, 100 и 107 будет = 42,15, что значительно меньше, чем их среднее арифметическое (arithmetic mean), равное 71,3. Бизнес.… … Словарь бизнес-терминов

Читайте также:  Call of duty 1 как изменить разрешение

СРЕДНЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ — (geometric mean) Величина, равная корню n й степени из произведения и данных величин. Например, средним геометрическим от 7, 100, и 107 будет 3√74 900) = 42,15, что значительно меньше, чем их среднее арифметическое (arithmetic mean), равное 71,3 … Финансовый словарь

среднее геометрическое — geometrinis v >Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

среднее геометрическое — geometrinis v >Fizikos terminų žodynas

СРЕДНЕЕ, ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ — Измерение центральной тенденции для набора из n значений, представленное как n корень из произведения n значений. Используется не так часто, как среднее арифметическое, наибольшее применение оно находит в изучении средней скорости изменений.… … Толковый словарь по психологии

Среднее геометрическое взвешенное — набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому. См. также Среднее геометрическое … Википедия

среднее геометрическое значение — geometrinis v >Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ — ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ, среднее геометрическое чисел n это n ый корень произведений данных чисел. Например, квадратный корень из произведений двух чисел 8 и 2 есть среднее геометрическое 8 и 2, равное Ц(832)=4. Среднее геометрическое 5, 8 и 25… … Научно-технический энциклопедический словарь

Среднее Колмогорова — или среднее по Колмогорову для действительных чисел это величины вида где непрерывная строго монотонная функция, а функция, обратная к . При этом выбор … Википедия