Формула пути при движении по окружности

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T – это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение – это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено – это есть период T. Путь, который преодолевает точка – это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна vA и vB соответственно. Ускорение – изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Читайте также:  Real racing 3 windows 10

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Движение по окружности – простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории – предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду ( р а д с ).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

a n = v 2 R = ω 2 R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → – v A → .

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → – v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

Здесь R → – радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов – нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Здесь ∆ v τ = v 2 – v 1 – изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .

Читайте также:  50 Годовых это сколько

Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω

Перемещение тел по окружности достаточно распространено в нашей жизни и в природе. Яркими примерами этого типа перемещения являются вращения ветровых мельниц, планет вокруг своих звезд и колес транспортных средств. В данной статье рассмотрим, какими формулами движение по окружности тел описывается.

Перемещение по окружности и по прямой линии в физике

В физике вопросами движения занимается кинематика. Она устанавливает связь между величинами, описывающими этот процесс. В динамике также уделяется внимание движению, однако она ориентирована на описание причин его возникновения. Другими словами, если для кинематики главными физическими величинами являются путь и скорость, то для динамики – это действующие на тела силы.

Вам будет интересно: Интерес: определение, понятие, типы и функции

В физике принято выделять два идеальных типа траекторий движения:

Математический аппарат для описания движения по обоим типам траекторий развит настолько хорошо, что понимание формул, например для прямолинейного движения, автоматически приводит к пониманию выражений для движения по окружности. Единственная принципиальная разница между формулами указанных типов перемещения заключается в том, что для движения по окружности удобно использовать угловые характеристики, а не линейные.

Далее в статье будем рассматривать исключительно кинематические формулы движения по окружности тел, не вдаваясь в подробности динамики.

Угловые характеристики движения: угол поворота

Прежде чем записывать формулы движения по окружности в физике, следует ввести величины, которые будут фигурировать в этих формулах.

Начнем с угла поворота. Будем обозначать его греческой буквой θ (тета). Поскольку вращение предполагает движение точки вдоль одной и той же окружности, то значение угла поворота θ за определенный промежуток времени можно использовать для определения количества оборотов, которое сделала эта точка. Напомним, что вся окружность равна 2*pi радиан, или 360o. Тогда формула для числа оборотов n через угол θ примет вид:

Здесь и далее во всех формулах угол выражается в радианах.

Пользуясь известным углом θ, также можно определить линейное расстояние, которое точка прошла вдоль окружности. Это расстояние будет равно:

Вам будет интересно: Педагогическая система Макаренко: принципы и компоненты

Здесь r – радиус рассматриваемой окружности.

Угловая скорость и ускорение

Кинематические формулы движения по окружности точки предполагают также использование понятий угловой скорости и углового ускорения. Обозначим первую буквой ω (омега), а вторую буквой α (альфа).

Физический смысл угловой скорости ω прост: эта величина показывает, на какой угол в радианах поворачивается точка за каждую секунду времени. Данное определение имеет следующее математическое представление:

Эта формула скорости движения по окружности записана в дифференциальной форме. Полученная с ее помощью величина ω называется мгновенной скоростью. Ее удобно использовать, если движение не является равномерным, то есть происходит с переменной скоростью.

Угловое ускорение α – это величина, которая описывает быстроту изменения скорости ω, то есть:

Угловое ускорение измеряется в радианах в секунду квадратную (рад/с2). Так, 1 рад/с2 означает, что тело увеличивает за каждую секунду времени скорость на 1 рад/с.

Учитывая выражение для ω, записанное выше, равенство можно представить в такой форме:

В зависимости от особенностей движения по окружности величина α может быть постоянной, переменной или нулевой.

Равномерное движение

Когда на вращающееся тело не действует никакая внешняя сила, то угловая скорость будет оставаться постоянной сколь угодно длительное время. Такое движение получило название равномерного вращения. Оно описывается следующей формулой:

В этом выражении переменными являются всего две величины: t и θ. Скорость ω = const.

Следует отметить один важный момент: нулю равна лишь равнодействующая внешних сил на тело, внутренние же силы, действующие в системе, нулю не равны. Так, внутренняя сила заставляет вращающееся тело изменять свою прямолинейную траекторию на криволинейную (окружность). Эта сила приводит к появлению центростремительного ускорения. Последнее не изменяет ни скорость ω, ни линейную скорость v, оно лишь изменяет направление движения.

Читайте также:  Как подняться в начало переписки вк

Равноускоренное движение по окружности

Вам будет интересно: Академик Рыбаков Б.А.: биография, археологическая деятельность, книги

Формулы для этого типа перемещения можно получить непосредственно из приведенных математических выражений для величин ω и α. Равноускоренное движение предполагает, что за более-менее длительный промежуток времени модуль и направление ускорения α не изменяются. Благодаря этому можно проинтегрировать дифференциальное выражение для α и получить следующие две формулы:

Очевидно, что в первом случае движение будет равноускоренным, во втором – равнозамедленным. Величина ω0 здесь – это некоторая начальная скорость, которой вращающееся тело обладало до появления ускорения.

Для равноускоренного движения не существует конечной скорости, поскольку она может возрастать сколь угодно долго. Для равнозамедленного движения конечным состоянием будет прекращение вращения, то есть ω = 0.

Теперь запишем формулы для определения угла θ при движении с постоянным ускорением. Эти формулы получаются, если произвести двойное интегрирование по времени для выражения α через θ. Получаются следующие выражения:

То есть центральный угол θ, на который тело повернется за время t, будет равен сумме двух слагаемых. Первое слагаемое – это вклад в θ равномерного движения, второе – равноускоренного (равнозамедленного).

Связь между угловыми и линейными величинами

При рассмотрении понятия угла поворота θ уже была приведена формула, которая его связывает с линейным расстоянием L. Здесь же рассмотрим аналогичные выражения для скорости ω и ускорения α.

Линейная скорость v при равномерном движении определяется как расстояние L, пройденное за время t, то есть:

Подставляя сюда выражение для L через θ, получаем:

Мы получили связь между линейной и угловой скоростью. Важно отметить, что удобство использования угловой скорости связано с тем, что она не зависит от радиуса окружности. В свою очередь, линейная скорость v возрастает линейно с увеличением r.

Остается записать связь между линейным ускорением a и его угловым аналогом α. Чтобы это сделать, запишем выражение для скорости v при равноускоренном движении без начальной скорости v0. Получаем:

Подставляем сюда полученное выражение связи между v и ω:

Как и скорость, линейное ускорение, направленное по касательной к окружности, зависит от радиуса.

Ускорение центростремительное

Выше уже было сказано несколько слов об этой величине. Здесь приведем формулы, которые можно использовать для ее вычисления. Через скорость v выражение для центростремительного ускорения ac имеет вид:

Через угловую скорость его можно записать так:

Величина ac не имеет никакого отношения к тангенциальному ускорению a. Центростремительное ускорение обеспечивает поддержание вращающегося тела на одной окружности.

Задача на определение угловой скорости вращения планеты

Известно, что ближе всего к солнцу находится Меркурий. Полагая, что он вращается по окружности вокруг светила, мы можем определить его угловую скорость ω.

Для решения задачи следует обратиться к справочным данным. Из них известно, что планета делает полный оборот вокруг светила за 87 дней 23,23 часа земных. Это время называется периодом обращения. Учитывая, что движение происходит с постоянной угловой скоростью, запишем рабочую формулу:

Остается перевести время в секунды, подставить значение угла θ, соответствующее полному обороту (2*pi), и записать ответ: ω = 8,26*10-7 рад/c.