Формула решения кубического уравнения

Здесь мы рассматриваем решение кубических уравнений вида
(1) .
Далее считаем, что – это действительные числа.

Если исходное уравнение имеет вид:
(2) ,
то разделив его на , получаем уравнение вида (1) с коэффициентами
.

Уравнение (1) имеет три корня: , и . Один из корней всегда действительный. Действительный корень мы обозначаем как . Корни и могут быть либо действительными, либо комплексно сопряженными. Действительные корни могут быть кратными. Например, если , то и – это двукратные корни (или корни кратности 2), а – простой корень.

Если известен один корень

Пусть нам известен один корень кубического уравнения (1). Обозначим известный корень как . Тогда разделив уравнение (1) на , получим квадратное уравнение. Решая квадратное уравнение, найдем еще два корня и .

Для доказательства воспользуемся тем, что кубический многочлен можно представить в виде:
.
Тогда, разделив (1) на , получаем квадратное уравнение.

Примеры деления многочленов представлены на странице
“Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком”.
Решение квадратных уравнений рассмотрено на странице
“Корни квадратного уравнения”.

Если один из корней – целый

Если исходное уравнение имеет вид:
(2) ,
и его коэффициенты , , , – целые числа, то можно попытаться найти целый корень. Если это уравнение имеет целый корень, то он является делителем коэффициента . Метод поиска целых корней заключается в том, что мы находим все делители числа и проверяем, выполняется ли для них уравнение (2). Если уравнение (2) выполняется, то мы нашли его корень. Обозначим его как . Далее делим уравнение (2) на . Получаем квадратное уравнение. Решая его, находим еще два корня.

Поиск рациональных корней

Если в уравнении (2) , , , – целые числа, причем , и целых корней нет, то можно попытаться найти рациональные корни, то есть корни вида , где и – целые.

Для этого умножим уравнение (2) на и сделаем подстановку :
;
(3) .
Далее ищем целые корни уравнения (3) среди делителей свободного члена .

Если мы нашли целый корень уравнения (3), то, возвращаясь к переменной , получаем рациональный корень уравнения (2):
.

Формулы Кардано и Виета для решения кубического уравнения

Если нам не известен ни один корень, и целых корней нет, то найти корни кубического уравнения можно по формулам Кардано.

Рассмотрим кубическое уравнение:
(1) .
Сделаем подстановку:
.
После этого уравнение приводится к неполному или приведенному виду:
(4) ,
где
(5) ; .

Формула Кардано для неполного (приведенного) кубического уравнения имеет вид:
;
;
;
;
.
По формуле Кардано, мы находим три корня величины . Затем, используя формулу , находим значения величины .

После разделения кубических корней величины , формула Кардано принимает следующий вид:
(6) , ,
где
(7) ; ; ;
(8) .

При , для и нужно выбирать действительные корни, которые автоматически связаны соотношением . При этом мы получим одно действительное решение и два комплексно сопряженных и .

При имеем:
; ; .
В этом случае мы имеем два кратных действительных корня. Если , то мы имеем три кратных корня.

Читайте также:  Сборник полезных программ для windows 10

При мы имеем три действительных корня. При этом и – комплексные. Поэтому решение приводится к тригонометрической форме, которая имеет название формулы Виета:
(9) ;
(10) ,
где
(11) ; .

Примеры решений по формулам Кардано и Виета

Решить кубические уравнения:
;
.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-04-2016 Изменено: 02-10-2016

Схема метода Кардано
Приведение кубических уравнений к трехчленному виду
Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи
Формула Кардано
Пример решения кубического уравнения

Схема метода Кардано

Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени ( кубических уравнений )

ax 3 + a1x 2 +
+ a2x + a3= 0,
(1)

где a, a1, a2, a3 – произвольные вещественные числа,

Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями .

На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a . Тогда оно примет вид

x 3 + ax 2 + bx + c = 0, (2)

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

(3)

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y 3 + py + q= 0, (5)

где p, q – вещественные числа.

Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями , у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

(6)

где t – новая переменная.

то выполнено равенство:

Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

(7)

Если теперь уравнение (7) умножить на t , то мы получим квадратное уравнение относительно t :

(8)

Формула Кардано

Решение уравнения (8) имеет вид:

В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

В развернутой форме эти решения записываются так:

Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

С другой стороны,

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

которая и называется «Формула Кардано» .

Замечание . Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

Пример . Решить уравнение

x 3 – 6x 2 – 6x – 2 = 0. (13)

Решение . Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

x = y + 2. (14)

Следовательно, уравнение (13) принимает вид

y 3 – 18y – 30 = 0. (15)

Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

(16)

то уравнение (15) примет вид

(17)

Далее из (17) получаем:

Отсюда по формуле (16) получаем:

Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

Читайте также:  Почему не могу зайти в ватсап

или использовали формулу

Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

Замечание 1 . У уравнения (13) других вещественных корней нет.

Замечание 2 . Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 – B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = – B A 3 , а квадратный трехчлен – x 2 – B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 – 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 – 3 = 0 x 3 – 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 – 3 2 = 0 x – 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения – A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 – x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B – A + A

Корень уравнения равен х = – 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B – A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 – 8 x 2 – 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 – 8 x 2 – 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 – 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 – x + 1 – 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 – 5 x + 5 – 8 x = = x + 1 5 x 2 – 13 x + 5 = 0

Если х = – 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 – 13 x + 5 :

5 x 2 – 13 x + 5 = 0 D = ( – 13 ) 2 – 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 – 69 2 · 5 = 13 10 – 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 – 69 10 x 3 = – 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 – 4 · 3 · 2 = – 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x – x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 – 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Читайте также:  Что обозначает эта запись

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 – 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 – 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 – 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 – 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 – 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( – 1 ) 3 – 11 · ( – 1 ) 2 + 24 · ( – 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = – 1 – это корень. Значит, x = y 2 = – 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 – 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

x i Коэффициенты многочлена
2 – 11 12 9
– 0 . 5 2 – 11 + 2 · ( – 0 . 5 ) = – 12 12 – 12 · ( – 0 . 5 ) = 18 9 + 18 · ( – 0 . 5 ) = 0

2 x 3 – 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 – 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 – 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 – 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 – 6 x + 9 = x – 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = – 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что – 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = – B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 – B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = – q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + – q 2 – q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению – p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y – B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 – 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = – 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = – 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = – B 1 2 3 + B 2 = – – 11 2 2 3 + 6 = – 121 12 + 6 = – 49 12 q = 2 B 1 3 27 – B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · – 11 2 3 27 – – 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = – q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + – q 2 – – q 2 4 + p 3 27 3 = = – 343 216 + 343 2 4 · 108 2 – 49 3 27 · 12 3 3 + – 343 216 – 343 2 4 · 108 2 – 49 3 27 · 12 3 3 = = – 343 216 3 + – 343 216 3

– 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

– 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда – 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда – 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = – 7 6

Если k = 2 , тогда – 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 – i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим – p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 – i · 3 2 , – 7 6 и – 7 6 , 7 6 1 2 – i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = – 343 216 3 + – 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 – i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = – 343 216 3 + – 343 216 3 = – 7 6 + – 7 6 = – 14 6 y 3 = – 343 216 3 + – 343 216 3 = = 7 6 1 2 – i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 – B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 – B 1 3 = – 14 6 + 11 6 = – 1 2 x 3 = y 3 – B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = – 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.