Функция с отрицательной степенью

Содержание:

Формулы со степенной функцией

На области определения степенной функции y = x p имеют место следующие формулы:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Свойства степенных функций и их графики

Далее мы рассматриваем степенную функцию
y ( x ) = x p .

Степенная функция с показателем равным нулю, p = 0

Если показатель степенной функции y = x p равен нулю, p = 0 , то степенная функция определена для всех x ≠ 0 и является постоянной, равной единице:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0 .

Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, .

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, . . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1 , где k = 0, 1, 2, 3, . – целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.

График степенной функции y = x n с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5, . .

Область определения: –∞
Множество значений: –∞
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при –∞ выпукла вверх
при 0 выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1,
y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2k+1 = –1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 1 , функция является обратной к самой себе: x = y
при n ≠ 1 , обратной функцией является корень степени n :

Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, .

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, . . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k , где k = 1, 2, 3, . – натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.

График степенной функции y = x n с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степени n = 2, 4, 6, . .

Область определения: –∞
Множество значений: 0 ≤ y
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x ≤ 0 монотонно убывает
при x ≥ 0 монотонно возрастает
Экстремумы: минимум, x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1 , y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2k = 1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = 2 , квадратный корень:
при n ≠ 2 , корень степени n :

Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, .

Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, . . Если положить n = –k , где k = 1, 2, 3, . – натуральное, то ее можно представить в виде:

График степенной функции y = x n с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, . .

Нечетный показатель, n = -1, -3, -5, .

Ниже представлены свойства функции y = x n с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, . .

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y ≠ 0
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x : выпукла вверх
при x > 0 : выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
при x
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = –1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = –1 ,
при n ,

Четный показатель, n = -2, -4, -6, .

Ниже представлены свойства функции y = x n с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, . .

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y > 0
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x : монотонно возрастает
при x > 0 : монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = 1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:
при n = –2 ,
при n ,

Степенная функция с рациональным (дробным) показателем

Рассмотрим степенную функцию y = x p с рациональным (дробным) показателем степени , где n – целое, m > 1 – натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей.

Читайте также:  Raspberry pi почтовый сервер

Знаменатель дробного показателя – нечетный

Пусть знаменатель дробного показателя степени нечетный: m = 3, 5, 7, . . В этом случае, степенная функция x p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x . Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах.

Показатель p отрицательный, p m = 3, 5, 7, . ) меньше нуля: .

Графики степенных функций с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, . – нечетное.

Нечетный числитель, n = -1, -3, -5, .

Приводим свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -1, -3, -5, . – нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y ≠ 0
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x : выпукла вверх
при x > 0 : выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак:
при x
при x > 0, y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = –1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = -2, -4, -6, .

Свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -2, -4, -6, . – четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y > 0
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x : монотонно возрастает
при x > 0 : монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: y > 0
Пределы:
; ; ;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = 1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Обратная функция:

Показатель p положительный, меньше единицы, 0

График степенной функции с рациональным показателем ( 0 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, . – нечетное.

Нечетный числитель, n = 1, 3, 5, .

Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 , где n = 1, 3, 5, . – нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: –∞
Множество значений: –∞
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x : выпукла вниз
при x > 0 : выпукла вверх
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Знак:
при x
при x > 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = –1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = 2, 4, 6, .

Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 , где n = 2, 4, 6, . – четное натуральное, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: –∞
Множество значений: 0 ≤ y
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x : монотонно убывает
при x > 0 : монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вверх при x ≠ 0
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Знак: при x ≠ 0, y > 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Показатель p больше единицы, p > 1

График степенной функции с рациональным показателем ( p > 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, . – нечетное.

Нечетный числитель, n = 5, 7, 9, .

Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: 1" style="width:95px;height:36px;vertical-align:-20px;background-position: -346px -53px;"> . Где n = 5, 7, 9, . – нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: –∞
Множество значений: –∞
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при –∞ выпукла вверх
при 0 выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = –1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Четный числитель, n = 4, 6, 8, .

Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: 1" style="width:95px;height:36px;vertical-align:-20px;background-position: -346px -53px;"> . Где n = 4, 6, 8, . – четное натуральное, m = 3, 5, 7 . – нечетное натуральное.

Область определения: –∞
Множество значений: 0 ≤ y
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x монотонно убывает
при x > 0 монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
;
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = 1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Обратная функция:

Знаменатель дробного показателя – четный

Пусть знаменатель дробного показателя степени четный: m = 2, 4, 6, . . В этом случае, степенная функция x p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел).

Степенная функция с иррациональным показателем

Рассмотрим степенную функцию y = x p с иррациональным показателем степени p . Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x . Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным.

Графики степенной функции y = x p при различных значениях показателя p .

Степенная функция с отрицательным показателем p x > 0
Множество значений: y > 0
Монотонность: монотонно убывает
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Пределы: ;
Частное значение: При x = 1, y(1) = 1 p = 1

Степенная функция с положительным показателем p > 0

Показатель меньше единицы 0 x ≥ 0
Множество значений: y ≥ 0
Монотонность: монотонно возрастает
Выпуклость: выпукла вверх
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения: При x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
При x = 1, y(1) = 1 p = 1
Показатель больше единицы p > 1

Область определения: x ≥ 0
Множество значений: y ≥ 0
Монотонность: монотонно возрастает
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Пределы:
Частные значения: При x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
При x = 1, y(1) = 1 p = 1

Читайте также:  Dexp ursus s110 32 гб 3g

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 12-08-2014 Изменено: 14-12-2018

Краткий конспект урока "Степенная функция и ее свойства"

Содержимое разработки

Степенная функция и ее свойства.

Степенная функция с натуральным показателем. Функ­ция у = х n , где n натуральное число, называется степен­ной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:

Прямая пропорциональность. Прямой пропорциональ­ностью называется функция, заданная формулой у = kx n , где число k называется коэффициентом пропорциональ­ности.

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

3) При k функция возрастает, а при k убывает на всей числовой прямой.

Гра­фик (прямая) изображен на рисунке II.1.

Область определения функции — вся числовая прямая.

На промежутке [0; + οο) функция возрастает.

В самом деле, если ,то — х1 х2 , а потому

(—х1) 2 ( — х2) 2 , т. е. , а это и означает убывание функции.

Графиком функции y 2 является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.

Область определения функции — вся числовая прямая.

3) Функция y = x 3 возрастает на всей числовой прямой. График функции y = x 3 изображен на рисунке. Он на­зывается кубической параболой.

График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.

Пусть n— произвольное четное натуральное число, большее двух:

n = 4, 6, 8. . В этом случае функция у = х n обладает теми же свойствами, что и функция у = х 2 . График такой функ­ции напоминает параболу у = х 2 , только ветви графика при |n| 1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.

Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9, . . В этом случае функция у = х n обладает теми же свойствами, что и функция у = х 3 . График такой функции на­поминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = х n тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.

Степенная функция с целым отрицательным показа­телем. Рассмотрим функцию у = х n , где n — натуральное чис­ло. При n = 1 получаем у = х n или у = Свойства этой функции:

График (гипербола) изоб­ражен на рисунке II.4.

Пусть n — нечетное число, большее единицы,

n = 3, 5, 7, . . В этом случае функция у = х n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у =.

y = четная функция.

y = убывает на (0; +оо) и возрастает на (—оо;0).

Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х n при четном n, большем двух.

График функции у = .

Степенная функция с положительным дробным показа­телем. Рассмотрим функцию у = х r , где r — положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции.

Область определения — луч [0; + оо).

Функция ни четная, ни нечетная.

Функция у = х r возрастает на [0; +оо).

На рисунке II.5. изображен график функции .

На том же рисунке изображен график функции . Подоб­ный вид имеет график любой степенной функции у = х r , где .

Степенная функция с отрицательным дробным пока­зателем. Рассмотрим функцию у = х r , где r — положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции.

Область определения — промежуток (0; + оо).

Функция ни четная, ни нечетная.

Построим для примера график функции у — х таблицу значений функции:

Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (см. рис. II.6.).

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

При четных n, :

Пример функции:

Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;1). Особенность функций данного вида – их четность, графики симметричны относительно оси ОУ.

Рис. 1. График функции

При нечетных n, :

Пример функции:

Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;-1). Особенность функций данного вида – их нечетность, графики симметричны относительно начала координат.

Рис. 2. График функции

2. Функция с отрицательным рациональным показателем степени, графики, свойства

Напомним основное определение.

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем выполняется равенство:

Например:

Для построения графика данной функции можно составить таблицу. Мы поступим иначе: сначала построим и изучим график знаменателя – он нам известен (рисунок 3).

Рис. 3. График функции

График функции знаменателя проходит через фиксированную точку (1;1). При построении графика исходной функции данная точка остается, при корень также стремится к нулю, функция стремится к бесконечности. И, наоборот, при стремлении х к бесконечности функция стремится к нулю (рисунок 4).

Рис. 4. График функции

Рассмотрим еще одну функцию из семейства изучаемых функций.

Важно, что по определению

Рассмотрим график функции, стоящей в знаменателе: , график данной функции нам известен, она возрастает на своей области определения и проходит через точку (1;1) (рисунок 5).

Рис. 5. График функции

При построении графика исходной функции точка (1;1) остается, при корень также стремится к нулю, функция стремится к бесконечности. И, наоборот, при стремлении х к бесконечности функция стремится к нулю (рисунок 6).

Рис. 6. График функции

Рассмотренные примеры помогают понять, каким образом проходит график и каковы свойства изучаемой функции – функции с отрицательным рациональным показателем.

Графики функций данного семейства проходят через точку (1;1), функция убывает на всей области определения.

Область определения функции:

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Функция непрерывна, принимает все положительные значения от нуля до плюс бесконечности.

Функция выпукла вниз (рисунок 15.7)

На кривой взяты точки А и В, через них проведен отрезок, вся кривая находится ниже отрезка, данное условие выполняется для произвольных двух точек на кривой, следовательно функция выпукла вниз. Рис. 7.

Рис. 7. Выпуклость функции

3. Решение типовых задач

Важно понять, что функции данного семейства ограничены снизу нулем, но наименьшего значения не имеют.

Пример 1 – найти максимум и минимум функции на интервале [1;8):

вычислим значения функции в концах заданного промежутка:

Теперь мы можем выписать ответ на основании того, что функция монотонно убывает.

, минимального значения нет, так как правая граница не включена в интервал.

Пример 2 – построить и прочесть график функции:

Преобразуем заданную функцию по определению рациональной степени:

Не забудем указать, что по определению

Строим график функции , для нас это стандартная кривая, она проходит через точку (1;1), убывает. После этого сдвигаем полученный график на одну единицу вверх, точка (1;1) переходит в точку (1;2) (рисунок 8)

Читаем полученный график: если аргумент возрастает от нуля (не включая) до бесконечности, функция убывает от бесконечности до единицы (не включая).

Рис. 8. Построение графика функции

Пример 3 – построить и прочесть график функции:

Преобразуем заданную функцию по определению степени с рациональным показателем:

Нам известен график функции

При возрастании аргумента от двух до бесконечности функция возрастает от единицы до бесконечности.

Пример 4 – построить и прочесть график функции:

В данном случае функция задана кусочно.

Напомним, что такое модуль, раскроем его по определению:

Итак, строим график функции

Рис. 9. Построение графика функции

Рис. 10. График кусочно заданной функции

Пример 5 – найти значения параметра, при котором уравнение а) имеет хотя бы одно решение; б) имеет только одно решение:

График заданной функции мы уже построили в предыдущем примере. Теперь рассечем его семейством прямых и найдем количество точек пересечения для каждого случая.

Выполним рассечение (рисунок 11).

Рис. 11. Рассечение графика прямыми

При уравнение имеет единственное решение.

Итак, мы рассмотрели степенные функции, их свойства и графики. На следующем уроке мы перейдем к дифференцированию и интегрированию степенных функций.

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на интервале:

а)

3. Решите уравнение с параметром:

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.