Интеграл от экспоненциальной функции

По таблице интегрирования основных элементарных функций интеграл равен: $$ int e^x dx = e^x + C $$

Словами звучит так: интеграл от экспоненты равен сумме этой же экспоненты и произвольной постоянной.

Пример 1
Найти интеграл от экспоненты в степени 2x: $$ int e^ <2x>dx $$
Решение

Если стоит степень в экспоненты отличная от $ x $, то необходимо выполнить подведение под знак дифференциала коэффициента, стоящего перед $ x $. В данном случае он равен $ 2 $:

$$ int e^ <2x>dx = frac<1> <2>int e^ <2x>d(2x) = frac<1> <2>e^ <2x>+ C $$

Дробь $ frac<1> <2>$ появляется перед интегралом после внесение двойки под дифференциал.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$ int e^ <2x>dx = frac<1> <2>e^ <2x>+ C $$

Выносим двойку за знак интеграла и пользуемся готовой формулой из таблицы интегрирования экспоненты:

$$ int 2e^x dx = 2int e^x dx = 2e^x + C $$

Пример 2
Найти неопределенный интеграл от двойной экспоненты: $$ int 2e^x dx $$
Решение
Ответ
$$ int 2e^x dx = 2e^x + C $$

Так как коэффициент в степени перед $ x $ равен $ -1 $, то выполняем внесение $ -1 $ под значок дифференциала:

$$ int e^ <-x>dx = — int e^ <-x>d(-x) = — e^ <-x>+ C $$

Таблица интегралов представляет собой набор интегралов от различных функций, таких как:

Эти интегралы в основном от элементарных функций и эта таблица приведена ниже:

В колонках этой таблицы:

  • В этой таблице в первой колонке приведен интеграл и чему он равен
  • Во второй колонке таблицы находится описание этого интеграла в словах
  • В третье колонке приведены примеры, как же пользоваться калькулятором интегралов

Получается, что ваша задача здесь научиться не только пользоваться таблицей интегралов, но и научиться вычислять интегралы с помощью калькулятора онлайн на этом сайте kontrolnaya-rabota.ru. Сам калькулятор интегралов находится по ссылке решение интегралов онлайн. Самое интересное, он умеет выдавать не только ответ, но и подробное решение бесплатно!

Пожалуйста, пишите, что вам не понятно будет на почту mail@kontrolnaya-rabota.ru о недостатках данной таблицы, чтобы вы хотели видеть еще здесь.

Видео примеры по использованию таблицы

Неопределенные интегралы:

Определенные интегралы:

Связанные понятия

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной. Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, существующее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно.

В математике (общей алгебре) многочлен от нескольких переменных над полем называется гармоническим, если лапласиан этого многочлена равен нулю.

Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.

В задачах геометрического программирования понятие монома несколько отличается от более широко известного математического термина моном, являющегося слагаемым в полиноме. Различие заключается в дополнительном требовании положительности коэффициента и допустимости нецелых и отрицательных чисел в показателях степеней сомножителей. Поскольку допускаются дробные и отрицательные показатели степеней, область определения монома ограничена строго положительными вещественными числами.

Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.

В алгебраической геометрии дивизоры являются обобщением подмногообразий некоторого алгебраического многообразия коразмерности 1. Существуют два различных таких обобщения — дивизоры Вейля и дивизоры Картье (названы в честь Андре Вейля и Пьера Картье), эти понятия эквивалентны в случае многообразий (или схем) без особенностей.

В математике линейным приближением, или линейной аппроксимацией, называют приближение произвольной функции с помощью линейной функции. Применяется для приближенных расчетов и в методе конечных разностей для решения дифференциальных уравнений.

Пример 3
Взять интеграл от экспоненты в отрицательной степени: $$ int e^ <-x>dx $$
Решение