Предел отношения двух многочленов

Мы продолжаем тему пределов отношения двух многочленов, начатую в первой части. Раскрытию неопределенности вида $frac<0><0>$ посвящена первая часть материала. Здесь же мы перейдем к вопросу раскрытия неопределенности вида $frac<infty><infty>$.

Раскрытие неопределенности $frac<infty><infty>$.

Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:

  • Выбираем наивысшую степень $x$ в числителе и знаменателе;
  • Делим многочлен в числителе и знаменателе на $x$ в наивысшей степени;
  • Используем теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного.

Мы имеем дело с неопределённостью вида $frac<infty><infty>$. Чтобы раскрыть эту неопределённость, для начала выберем наивысшую степень $x$ в числителе и знаменателе дроби $frac<3x^5-2x^3+5x-10><left(2x^3+4x-1
ight)left(5x^2+9
ight)+7x^3>$. Наибольшая степень $x$ в числителе равна $5$. В знаменателе у нас имеется многочлен, записанный в виде суммы выражения $left(2x^3+4x-1
ight)left(5x^2+9
ight)$ и $7x^3$. Можно, конечно, банально раскрыть скобки и после этого выбрать наибольшую степень, но проще немного порассуждать. В первой скобке наибольшая степень равна 3, а во второй скобке наивысшая степень $x$ равна 2. Вывод: наибольшая степень многочлена $left(2x^3+4x-1
ight)left(5x^2+9
ight)$ равна $3+2=5$. Иными словами, если мы раскроем скобки, то наибольшая степень будет у слагаемого $2x^3cdot 5x^2=10x^<3+2>=10x^5$. Итак, наибольшая степень $x$ в знаменателе равна 5. Разделим и числитель и знаменатель дроби $frac<3x^5-2x^3+5x-10><left(2x^3+4x-1
ight)left(5x^2+9
ight)+7x^3>$ на $x^5$:

Теперь поработаем с полученным результатом. Начнём с числителя. Так как $lim_frac<2>=0$, $lim_frac<5>=0$, $lim_frac<10>=0$, то

Итак, числитель стремится к $3$, знаменатель стремится к $10$. Вывод:

Мы имеем дело с неопределённостью вида $frac<infty><infty>$. Чтобы раскрыть эту неопределённость, для начала выберем наивысшую степень $x$ в числителе и знаменателе дроби $frac<4x^<11>+25x^2+14x><20x^<15>-13x^<10>+4x^7-16>$. Эта дробь содержит такие степени переменной $x$: $1$, $2$, $7$, $10$, $11$, $15$. Наибольшая степень равна $15$. Разделим и числитель и знаменатель дроби $frac<4x^<11>+25x^2+14x><20x^<15>-13x^<10>+4x^7-16>$ на $x^<15>$:

Итак, числитель стремится к $0$, знаменатель стремится к $20$. Вывод:

Мы имеем дело с неопределённостью вида $frac<infty><infty>$. Чтобы раскрыть эту неопределённость, для начала выберем наивысшую степень $x$ в числителе и знаменателе дроби $frac<4x^8-5x^2+11><12x^6+9x^3-x+6>$. Эта дробь содержит такие степени переменной $x$: $1$, $2$, $3$, $6$, $8$. Наибольшая степень равна $8$. Разделим и числитель и знаменатель дроби $frac<4x^8-5x^2+11><12x^6+9x^3-x+6>$ на $x^8$:

Теперь поработаем с полученным результатом. Начнём с числителя. Так как $lim_frac<5>=0$, $lim_frac<11>=0$, то $lim_left( 4-frac<5>+frac<11>
ight)=4-0+0=4$.

Итак, числитель стремится к $4$, знаменатель стремится к $0$. Вывод:

Пределы, о которых пойдёт речь в этой теме, имеют вид $lim_frac$, где $P_n(x)$ – многочлен n-го порядка (или n-й степени), а $Q_m(x)$ – многочлен m-го порядка. Например, в случае $lim_frac<4x^7-5x^2+78><89x^2+8x-96>$ мы имеем отношение многочлена седьмого порядка (т.е. $4x^7-5x^2+78$) и второго порядка (т.е. $89x^2+8x-96$). Естественно, что нас будут интересовать различные виды неопределённостей, связанные с пределами $lim_frac$. Такие неопределённости можно условно разделить на две группы:

На данной странице мы рассмотрим методику раскрытия неопределенности вида $frac<0><0>$. Раскрытию неопределенности $frac<infty><infty>$ посвящена вторая часть этой темы.

Раскрытие неопределенности $frac<0><0>$.

Указанная неопределённость возникает в том случае, когда число $x_0$ является одновременно корнем как многочлена $P_n(x)$, так и многочлена $Q_m(x)$, т.е. $P_n(x_0)=0$ и $Q_m(x_0)=0$. Именно в таком случае говорят, что в пределе $lim_frac$ имеется неопределённость вида $frac<0><0>$. Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:

  • Раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
  • Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.

Для разложения на множители могут быть полезны несколько формул, которые я запишу ниже:

Кроме того, предполагаем, что читатель знает формулы для решения квадратных уравнений. Если $x_1$ и $x_2$ – корни квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$, то разложить его на множители можно по следующей формуле:

egin ax^2+bx+c=acdot(x-x_1)cdot(x-x_2) end

Замечу, что применение формул (1)-(5) зачастую бывает несколько затруднительно, посему рациональнее использовать схему Горнера. В примерах, к которым мы сейчас перейдём, всё вышеизложенное будет пояснено подробно. Последний пример содержит несколько необычный для стандартных типовых расчётов способ раскрытия неопределённости $frac<0><0>$, он размещён просто из интереса 🙂

то в заданном пределе мы имеем неопределённость вида $frac<0><0>$. Цель дальнейших преобразований состоит в том, чтобы разложить на множители числитель и знаменатель данной дроби. Для этого можно использовать формулы (1)-(5) или же применить схему Горнера.

Применим формулу №3, чтобы разложить на множители выражение $x^3+8$. Подставляя в указанную формулу $a=x$ и $b=2$, будем иметь:

Читайте также:  Сканер сетчатки глаза samsung galaxy s8

$$ x^3+2^3 =(x+2)cdotleft(x^2-2x+2^2
ight) =(x+2)cdotleft(x^2-2x+4
ight) $$

Перейдём к разложению на множители знаменателя $3x^2+10x+8$, применяя для этого формулу №5. Чтобы применить данную формулу, сначала потребуется решить квадратное уравнение $3x^2+10x+8=0$:

Немного упростим выражение $3cdot(x+2)cdotleft(x+frac<4><3>
ight)$. Внесём множитель $3$ во вторую скобку:

Итак, для знаменателя имеем: $3x^2+10x+8=(x+2)(3x+4)$. Вообще говоря, разложение выражения $3x^2+10x+8$ на множители можно получить быстрее, без использования дискриминанта.

Как разложить знаменатель на множители без использования дискриминанта? показатьскрыть

Дело в том, что один корень (т.е. $x_1=-2$) нам уже известен. Далее можно воспользоваться, например, теоремой Виета. Она применяется для приведённых квадратных уравнений, т.е. уравнений вида $x^2+bx+c=0$, поэтому разделим обе части уравнения $3x^2+10x+8=0$ на 3. Вот что мы получим:

В принципе, преобразовывать всё уравнение нам не нужно: достаточно в уме получить свободный член, т.е. $frac<8><3>$. По теореме Виета для корней приведённого квадратного уравнения имеем $x_1cdot=frac<8><3>$. Ну, или учитывая, что $x_1=-2$, получим: $-2cdot=frac<8><3>$, откуда $x_2=-frac<4><3>$. А далее выполняем разложение на множители:

Можно ли получить разложение ещё проще? Разумеется, можно 🙂 Подбором. Мы знаем, что $x=-2$ – корень многочлена $3x^2+10x+8$. Следовательно, искомое разложение будет иметь такой вид:

Представьте, что вы раскрыли скобки в правой части равенства, т.е. в выражении $(x+2)cdot(ax+b)$. Тогда перед $x^2$ у вас будет стоять коэффициент $a$, при этом свободный член будет равен $2b$. В левой части равенства расположен многочлен, у которого коэффициент перед $x^2$ равен 3, а свободный член равен 8. Исходя из равенства многочленов имеем: $a=3$ и $2b=8$, $b=4$.

Отмечу, что для разложения выражений на множители можно использовать и схему Горнера. В данном примере её применение явно излишне, однако при желании вполне возможно.

Как выполнить разложение на множители по схеме Горнера? показатьскрыть

Так как при $x=-2$ имеем $x^3+8=-8+8=0$ и $3x^2+10x+8=12-20+8=0$, то $(-2)$ – корень многочленов $x^3+8$ и $3x^2+10x+8$. Следовательно, эти многочлены делятся нацело на $(x-(-2))=(x+2)$. Собственно говоря, именно множитель $x+2$ и вызывает неопределенность $frac<0><0>$ в рассматриваемом пределе. Разделим $x^3+8$ на $x+2$ с применением схемы Горнера:

$$ egin & 1 & 0 & 0 & 8\ hline -2 & 1 & -2 & 4 & 0 end \ x^3+8=(x-(-2))cdotleft(1cdot x^2-2cdot+4
ight)=(x+2)cdotleft(x^2-2x+4
ight). $$

Теперь используем схему Горнера для деления многочлена $3x^2+10x+8$ на $x+2$:

$$ egin & 3 & 10 & 8\ hline -2 & 3 & 4 & 0 end \ 3x^2+10x+8=(x-(-2))cdot(3cdot x+4)=(x+2)cdot(3x+4). $$

Вернёмся к рассматриваемому пределу и используем полученные результаты:

Дальнейшее решение состоит в сокращении скобки $(x+2)$, которая и вызывала неопределённость $frac<0><0>$. После сокращения на эту скобку останется лишь записать ответ:

В даном случае для числителя и знаменателя имеем:

Так как при $x o 4$ числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, то мы имеем дело с неопределённостью вида $frac<0><0>$. Чтобы раскрыть оную неопределённость, нужно разложить на множители многочлены в числителе и знаменателе. Для этой цели применим схему Горнера. Разделим многочлен $2x^4-7x^3-4x^2-7x+28$ на $x-4$:

$$ egin & 2 & -7 & -4 & -7 & 28\ hline 4 & 2 & 1 & 0 & -7 & 0 end \ 2x^4-7x^3-4x^2-7x+28=(x-4)left(2cdot x^3+1cdot x^2+0cdot x-7
ight)=(x-4)left(2x^3+x^2-7
ight). $$

Отмечу, что дальнейшее деление на $x-4$ не требуется. Если это не очевидно, то гляньте пояснения под примечанием.

Почему мы не стали делить дальше и остановились? показатьскрыть

Дело в том, что число $x=4$ не является корнем многочлена $2x^3+x^2-7$. Это легко проверить, подставив $x=4$:

Или же, если непосредственная подстановка по тем или иным причинам нецелесообразна, можно дописать ещё одну строку в схеме Горнера:

$$ egin & 2 & -7 & -4 & -7 & 28\ hline 4 & 2 & 1 & 0 & -7 & 0 \ hline 4 & 2 & 9 & 36 & 137 & phantom <0>end $$

Как видите, последний элемент третьей строки не равен нулю, т.е. многочлен $2x^3+x^2-7$ на $x-4$ не делится.

Теперь разделим $5x^3-19x^2+8x-48$ на $x-4$:

$$ egin &5 & -19 & 8 & -48\ hline 4 & 5 & 1 & 12 & 0 end \ 5x^3-19x^2+8x-48=(x-4)(5cdot x^2+1cdot x+12)=(x-4)(5x^2+x+12). $$

Вновь упомяну, что дальнейшее деление на $x-4$ не нужно. Если это требует пояснений, то гляньте предыдущее примечание. Разумеется, возможна ситуация, в которой схему Горнера придётся применить несколько раз. Подобный случай рассмотрим в следующем примере №3.

Возвращаясь к исходному пределу, будем иметь:

В даном случае для числителя и знаменателя имеем:

Так как при $x o 1$ числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, то мы имеем дело с неопределённостью вида $frac<0><0>$. Чтобы раскрыть оную неопределённость, нужно разложить на множители многочлены в числителе и знаменателе. Для этой цели применим схему Горнера. Схему Горнера здесь придётся применять несколько раз. Начнём с многочлена $2x^5-5x^4+7x^3-11x^2+11x-4$, который будем делить на бином $x-1$:

$$ egin & 2 & -5 & 7 & -11 & 11 & -4\ hline 1 & 2 & -3 & 4 & -7 & 4 & 0 \ hline 1 & 2 & -1 & 3 & -4 & 0 & \ hline 1 & 2 & 1 & 4 & 0 & & end $$

Читайте также:  Как заплатить с помощью телефона

Дальнейшие преобразования не нужны, в чём несложно убедиться, дописав ещё одну строку в схему Горнера. Или же банально подставив $x=1$ в выражение $2x^2+x+4$ мы получим $2x^2+x+4=7
eq<0>$, т.е. число $x=1$ не является корнем многочлена $2x^2+x+4$.

Применим схему Горнера для деления многочлена $9x^4-18x^3+11x^2-4x+2$ на бином $x-1$:

$$ egin & 9 & -18 & 11 & -4 & 2\ hline 1 & 9 & -9 & 2 & -2 & 0 \ hline 1 & 9 & 0 & 2 & 0 & end \ 9x^4-18x^3+11x^2-4x+2=(x-1)^2cdotleft(9x^2+2
ight). $$

Возвращаясь к исходному пределу, будем иметь:

Так как при $x o<2>$ числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, то мы имеем дело с неопределённостью вида $frac<0><0>$. Чтобы раскрыть оную неопределённость, нужно разложить на множители многочлены в числителе и знаменателе, однако же для многочлена в числителе это сделать несколько затруднительно. Для знаменателя трудностей нет, разложение будет таким:

Итак, многочлен в знаменателе мы разложили на множители, но вот в числителе скобка $(x-1)^<101>$ становится препятствием: раскрывать её – дело чрезвычайно громоздкое. Попробуем пойти иным путём. Скобку не придется раскрывать, если скобки не будет, т.е. если вместо скобки будет одна переменная. Для этой цели введём новую переменную $t=x-1$. Так как $x o<2>$, то $t o<1>$. При этом из условия $t=x-1$ мы сразу получим $x=t+1$.

Напомню, что мы уже разложили на множители знаменатель, который с новой переменной станет таким:

Что же касается числителя, то для него будем иметь:

Однако же этого явно недостаточно. Полученный многочлен нужно разложить на множители. Используем для этой цели схему Горнера:

$$ egin phantom<0>& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ldots &0&0&0&-101&100\ hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & ldots & 1 & 1 & 1 & -100 & 0 \ hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & ldots & 98 & 99 & 100 & 0 & phantom <0>end $$ $$ t^<101>-101t+100 =(t-1)^2cdotleft(t^<99>+2t^<98>+3t^<97>+4t^<96>+ldots+99t+100
ight) $$

Итак, переходим к пределу с новой переменной:

На всякий случай дам пояснения относительно числа, полученного в числителе. Выражение $1+2+ldots+100$ есть сумма первых ста членов арифметической прогрессии. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии находится по формуле $S=frac<2>cdot$, применяя которую, будем иметь:

В предыдущих примерах мы подробно разобрали классический путь решения задач такого рода: разложить на множители, а затем сократить. Однако если вы не хотите пользоваться схемой Горнера, забыли формулы для решения квадратных уравнений или же вам просто нравится решение стандартных проблем нестандартным путём, можно попробовать иной вариант.

Итак, пусть у нас есть предел $lim_frac$, в котором имеется неопределённость вида $frac<0><0>$. Простая замена $t=x-x_0$ (при этом $t o<0>$) позволит нам избавиться от свободного члена в многочленах числителя и знаменателя. После чего останется лишь вынести за скобки и сократить $t$ в некоторой степени. Разумеется, эти преобразования в общем случае довольно громоздки, но никаких уравнений решать не придётся. Например, для предела $lim_frac<3x^2+10x+8>$ упомянутая замена примет вид $t=x-(-2)=x+2$. Подставляя $x=t-2$, раскрывая скобки и упрощая, получим такое решение:

Способ, честно скажем, на любителя 🙂 Второй предел с его помощью будет решён так:

Здесь мы рассмотрим примеры и методы решения пределов функций, составленных из отношений многочленов. Это дроби из многочленов и разности дробей. Обзор и обоснование методов решения пределов изложены на странице «Методы вычисления пределов функций и раскрытия неопределенностей».

Методы решения пределов дробей из многочленов

1. Рассмотрим предел функции, которая является отношением многочленов:
, где
(1) ,
и – многочлены степеней m и n , соответственно:
;
.

1.1. Пусть есть бесконечность:
.
Тогда возникает неопределенность вида . Для ее раскрытия, нужно числитель и знаменатель дроби разделить на x s , где s – наибольшее из чисел m и n . Примеры ⇓

1.2. Пусть есть конечное число. Найдем значение знаменателя дроби, подставив :
.
1.2.1. Если , то неопределенности нет. Функция определена и непрерывна при . Значение предела равно значению функции в точке :
. Пример ⇓

1.2.2. Если знаменатель равен нулю, а числитель нет: ,
то неопределенность также отсутствует. Предел равен бесконечности:
. Пример ⇓

1.2.3. Пусть теперь и числитель, и знаменатель равны нулю:
.
В этом случае у нас возникает неопределенность вида 0/0 . Для ее раскрытия, делим числитель и знаменатель на . Деление можно выполнять либо уголком, либо в уме, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x . Примеры ⇓

2. Теперь рассмотрим пределы от суммы или разности отношений многочленов. В этом случае, может возникнуть неопределенность вида бесконечность плюс-минус бесконечность: . Для ее раскрытия, нужно привести дроби к общему знаменателю. В результате получим предел от функции вида (1), методы решения которого мы уже рассмотрели. Пример ⇓

Читайте также:  Почему моргает телевизор при включении света

Примеры решений

Все примеры Далее мы приводим подробные решения пределов дробей из многочленов.
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓

Пределы при x стремящемся к бесконечности

Пример 1

Все примеры ⇑ Найти предел отношения многочленов при x стремящемся к бесконечности:
.

Разделим числитель и знаменатель дроби на . При имеем:
.
На основании свойств степенной функции, при . Применяя арифметические свойства предела функции, находим:
.

Пример 2

Все примеры ⇑ Найти предел функции, которая является отношением многочленов:
.

Разделим числитель и знаменатель дроби на . При имеем:
.
Применяя арифметические свойства предела функции, находим:
.

Пример 3

Разделим числитель и знаменатель дроби на . При имеем:
.
Применим арифметические свойства предела функции к числителю и знаменателю:
;
.
Применим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:
.

Мы получили правильную величину предела: . Но бесконечно удаленная точка может включать в себя два частных случая: и . Как , так и являются . Если и, для достаточно больших |x| , , то . Если, для достаточно больших |x| , то .

Выясним, имеет ли наш предел определенный знак? Для этого преобразуем знаменатель и переведем бесконечно большую часть в числитель:
;
.
Поскольку , то . Тогда

.

Пределы в конечной точке

Пример 4. Непрерывные функции

Все примеры ⇑ Найти пределы функции

a) при ; б) при .

а) Найдем значение знаменателя в точке :
.
Поскольку знаменатель не обращается в нуль, то функция непрерывна в точке . Поэтому предел функции равен ее значению при :
.

б) Найдем значение знаменателя в точке :
.
Здесь также знаменатель не обращается в нуль. Функция непрерывна. Ее предел при равен значению при :
.

Пример 5. Бесконечно большие функции

Все примеры ⇑ Задана функция в виде отношения многочленов:
.
Найти односторонние пределы:
а) ; б) .

Найдем значение знаменателя дроби в точке :
.
Знаменатель равен нулю. Поэтому функция не является непрерывной при . Выясним, есть ли неопределенность вида 0/0 ? Для этого найдем значение числителя в этой точке:
.
Числитель не равен нулю. Поэтому неопределенности вида 0/0 нет. Предел при равен бесконечности:
.

Но нам нужно найти односторонние пределы. Для этого выделим из многочлена в знаменателе множитель . То есть представим знаменатель в следующем виде:
.
Раскрываем скобки:

.
Сравнивая левую и правую части, находим:
.
Отсюда ,
;
.

Функция непрерывна в точке , поскольку знаменатель дроби не обращается в нуль. При , имеем:
.
Тогда
;
при .
а) Подставим :
.
б) Подставим :
.

Примечание.
Если бы знаменатель дроби не равнялся нулю при , то функция была бы непрерывной в точке . В этом случае, пределы слева и справа были бы равны:
.

Неопределенность вида 0/0

Пример 6

Найдем значение знаменателя дроби при :

.
Знаменатель дроби равен нулю. Поэтому функция не определена и, следовательно, не является непрерывной в точке .

Найдем значение числителя при :
.
Числитель дроби также равен нулю. Мы имеем неопределенность вида 0/0 . Для ее раскрытия, выделим в многочленах множитель .

Ищем разложение знаменателя в виде:
.
Раскрываем скобки и группируем члены с одинаковыми степенями x :

.
Сравнивая левую и правую части, находим:
.
Отсюда ,
.

На практике, нет необходимости выписывать неопределенные коэффициенты разложения, а затем решать систему уравнений. Подобные вычисления легко проводить в уме. Для числителя имеем:
.

Пример 7

Все примеры ⇑ Найти предел отношения многочленов:
.

Найдем значение знаменателя при :
.
Знаменатель равен нулю. Поэтому функция не является непрерывной в точке .

Найдем значение числителя дроби при :
.
Числитель дроби также равен нулю. У нас неопределенность вида 0/0 . Для ее раскрытия, выделим в многочленах множитель .

Вычисления делаем в уме:
,
.
Делим числитель и знаменатель на . Тогда при имеем:
.

Снова находим значения числителя и знаменателя при : ;
.
Опять неопределенность 0/0 . Снова выделяем множитель :
;
.

При имеем:
.
Функция непрерывна в точке , поскольку знаменатель дроби не равен нулю при . Поскольку функции и отличаются только в одной точке ( определена и непрерывна при , а не определена), то их пределы в любой точке равны (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела»). Находим искомый предел:
.

Пример 8. Неопределенность вида ∞±

Все примеры ⇑ Найти предел разности дробей из многочленов:
.

При имеем:
;
;
;
.
Поскольку знаменатель каждой из дробей равен нулю, а числители отличны от нуля, то при , каждая из дробей стремится к бесконечности:
при .
То есть мы имеем неопределенность вида "бесконечность минус бесконечность".

Для раскрытия неопределенности, приводим дроби к общему знаменателю. Чтобы упростить выкладки, предварительно выделим в знаменателях дробей множитель .
;
;

;
.

Таким образом, задача свелась к вычислению предела от дроби многочленов:
.
Применяем описанные выше методы.

Находим значения числителя и знаменателя при :
;
.
Поскольку числитель и знаменатель равны нулю, то это неопределенность вида 0/0 . В знаменателе множитель уже выделен. Выделим этот множитель в числителе:
.
Находим предел:

.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 23-01-2019