Предел по коши примеры

Хотя функция sin ⁡ x x <displaystyle <frac <sin x>>> в нуле не определена, когда x <displaystyle x> приближается к нулю, то её значение становится сколь угодно близко к 1 в окрестности нуля, иными словами — предел функции в нуле равен 1.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т. н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений существует окрестность этого значения такая, что в любой сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами указанной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Предел фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.

Содержание

Определения [ править | править код ]

Рассмотрим функцию f ( x ) <displaystyle fleft(x
ight)> , определённую на некотором множестве X <displaystyle X> , которое имеет предельную точку x 0 <displaystyle x_<0>> (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

3.2. Предел функции и его элементарные свойства

Будем рассматривать функции $f: X o mathbb R$, где $X subset mathbb R.$Окрестностью радиуса $delta > 0$ (или $delta$-окрестностью) точки $a in mathbb R$ мы называли множество таких $x ∈ mathbb R$, что $a − delta Определение предела функции по Коши. Пусть функция $f$ определена в некоторой проколотой окрестности точки $a$. Число $A$ называется пределом функции $f$ в точке $a$, если для любого $varepsilon > 0$ найдется такое $delta > 0$, зависящее, вообще говоря, от $varepsilon$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 Пример 1.
Пусть $f left ( x
ight ) = x cdot sin frac<1>, x
eq 0, a = 0.$
Данная функция определена в проколотой окрестности точки $a = 0.$ Покажем, что: $lim limits_
f left (x
ight ) = 0$. Зададим $varepsilon > 0.$ Тогда для $x
eq 0$ неравенство $$left | f left (x
ight ) — 0
ight | = left | x cdot sin frac<1>

ight |leqslant left | x
ight | leqslant varepsilon$$ справедливо, если только $0 0$ произвольно, то для любого $varepsilon > 0$ найдется такое $delta left ( delta = varepsilon
ight )$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 Пример 2.
Пусть $f left (x
ight) = operatorname x = left<egin
1, x > 0, & \
0, x = 0, & \
-1, x 0$, что для каждого $delta > 0$, найдется такое $x$, удовлетворяющее условию $0 0$. Если $A leqslant 0$, то выберем такое $x$, что $−delta Замечание 1. В определении предела мы предполагаем, что функция $f$ определена в проколотой окрестности точки $a$. Может оказаться, что в самой точке $a$ функция $f$ также определена. Однако значение функции $f$ в этой точке $a$ совершенно не оказывает влияния на предел функции в этой точке, т. к. в определении предела мы рассматриваем лишь те значения $x$, которые отличны от $a$.

Пример 3.
Пусть $f left ( x
ight ) = |operatorname x |= left<egin
1, x
eq 0, & \
0, x = 0. &
end

ight.$
Покажем, что $lim limits_ f left ( x
ight ) = 1$.
Действительно, зададим $varepsilon > 0$ и в качестве $delta$ выберем любое положительное число, например, $delta = 1$. Тогда из неравенства $0 0$.

Пример 4.
Докажем, что $displaystyle lim limits_ frac<2>-1> = 2$.
В самом деле, если $x
eq 1$, то $displaystyle frac<2>-1> = x + 1$, и тогда $left | f left (x
ight) – 2
ight | = left | left( x+1
ight ) – 2
ight | = left | x-1
ight | Замечание 2. Определение предела носит локальный характер. Это означает, что существование предела и его величина зависят лишь от значений, принимаемых функцией в достаточно малой проколотой окрестности точки $a$. Другими словами, если мы изменим функцию вне некоторой проколотой окрестности точки $a$, то это никак не скажется на существовании предела и его величине.

Читайте также:  Sniper elite 4 отсутствует steamclient64 dll

Пусть $lim limits_ f left (x
ight ) = A$ и $lim limits_
f left ( x
ight ) = B$. Зададим $varepsilon > 0$ и найдем $delta _ <1>> 0$, такое, что из неравенства $0 0$, такое, что из неравенства $0 0$ произвольное и $left |B − A
ight | Локальная ограниченность функции, имеющей предел.
Функция $f$ называется ограниченной сверху (снизу) на множестве $E$, если существует такое число $M(m)$, что для всех $x in E$ справедливо неравенство $f left( x
ight) leqslant M left ( f left (x
ight ) leqslant m
ight )$. Функция $f$ называется ограниченной на множестве $E$, если она ограничена на этом множестве сверху и снизу.
Другое эквивалентное определение ограниченности функции можно дать, используя понятие модуля. Именно, функция $f$ называется ограниченной на множестве $E$, если существует такое число $A$, что для всех $x in E$ справедливо неравенство $left |f left (x
ight )
ight | leqslant A$.
Доказательство равносильности этих двух определений ограниченности элементарно и мы его опускаем.

Выше мы установили, что сходящаяся последовательность ограничена. Рассмотрим аналогичный вопрос для функций. Именно, следует ли из существования предела функции ее ограниченность? Отрицательный ответ на этот вопрос дает, например, функция $displaystyle f left ( x
ight) = frac<1>, 0 Теорема 2
Пусть функция $f$ определена в проколотой окрестности $U$ точки $a$ и имеет предел в этой точке. Тогда существует такая проколотая окрестность $V subset U$, на которой функция $f$ ограничена.

Пусть $lim limits_f left (x
ight) = A$. Зададим $varepsilon = 1$ и найдем такое $delta > 0$, что для всех $x in U$, удовлетворяющих условию $0 Определение предела функции по Гейне.
Мы хотим связать определения предела функции и предела последовательности. Пусть функция $f$ определена в некоторой проколотой окрестности $U$ точки $a$. Возьмем произвольную последовательность аргументов $egin
>
end
_^<infty>$, т.е. $x_ in U left( x_
eq a, n = 1, 2, cdots
ight )$. Эта последовательность аргументов порождает последовательность значений функции $f$ в точках $x_
$, т.е. мы получаем последовательность $egin


ight )>
end
_^<infty>$.

Определение. Пусть функция $f$ определена в проколотой окрестности $U$ точки $a$. Число $A$ называется пределом функции $f$ в точке $a,$ если каждая последовательность аргументов $left
ight )
ight>$, стремящаяся к $a left (т.е. x_ in U, x_
eq a, n = 1, 2, cdots
ight)$ порождает соответствующую последовательность значений функции $egin

ight )>
end$, стремящуюся к $A$.

Итак, мы имеем два определения предела функции: по Коши и по Гейне. Покажем, что эти определения эквивалентны.

Эквивалентность двух определений предела функции в точке.
Пусть $lim limits_ f left (x
ight) = A$ в смысле определения по Коши. Возьмем произвольную последовательность $egin
>
end
, x_ o a left( n o infty
ight), x_

eq a$ и покажем, что $f left( x_

ight) o A left( n o infty
ight )$. Зададим $varepsilon > 0$ и найдем $delta > 0$, такое, что из неравенства $0 0$ найдется такой номер $N$, что для всех $n leqslant N$ справедливо неравенство $|f left( x_

ight ) − A| 0$ произвольно, то это означает, что $lim limits_
f left( x_
ight ) = A$.
Обратно, пусть число $A$ является пределом функции $f$ при $x o a$ в смысле Гейне, т.е. для любой последовательности $egin

>
end
left ( x_ o a, x_
eq a
ight )$ соответствующая последовательность значений функции $egin


ight )>
end
$ стремится к $A$. Предположим, что $A$ не является пределом функции $f$ в точке $a$ в смысле Коши. Это означает, что найдется такое $varepsilon_ <0>> 0$, что для любого $delta > 0$ существует такое $x$, что $0 0$, то $x_
eq a left (n = 1, 2, cdots
ight)$. Кроме того, $left |f(x_
) − A
ight | leqslant varepsilon_<0>$. Это неравенство означает, что соответствующая последовательность значений функции $left
ight )
ight>$ не стремится к $A$. Окончательно, мы построили такую последовательность аргументов $left

ight>, x_
o a, x_
eq a$, что соответствующая последовательность значений функции $left
ight )
ight>$ не стремится к $A$. Это противоречит условию.

Итак, мы показали, что определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны. Часто на практике определение предела по Гейне используется для доказательства того, что у функции нет предела в точке $a$. Именно, отрицание определения предела в смысле Гейне выглядит следующим образом. Число $A$ не является пределом функции $f$ в точке $a$, если существует последовательность аргументов $egin
>
end
left (x_ o a, x_
eq a
ight )$, такая, что $f left (x_

ight)$ не стремится к $A$.
Предположим, что найдется такая последовательность аргументов, что соответствующая последовательность значений функции $egin


ight )>
end
$ расходится. Тогда ясно, что никакое число не является пределом функции $f$ в точке $a$, т. е. $f$ не имеет предела при $x o a$. Итак, для того чтобы показать, что функция $f$ не имеет предела в точке $a$, достаточно построить последовательность $egin
>
end
left(x_ o a, x_
eq a
ight)$, такую, что $egin


ight)>
end
$ не имеет предела.

Упражнение.
Доказать, что справедливо и обратное утверждение. Именно, если функция $f$ не имеет предела в точке $a$, то существует такая последовательность $left
ight> left( x_
o a, x_
eq a
ight)$, что $left
ight )
ight>$ расходится.

Читайте также:  Avg antivirus free отзывы специалистов

Пример.
Пусть $displaystyle f(x) = sin frac<1> left(x
eq 0
ight )$. Выберем две последовательности $displaystyle
’_ = frac<1><2pi k>$ и $displaystyle ^<primeprime>_ = frac<1><2pi left(frac <4>
ight)> left(k = 1, 2,cdots
ight).$
Тогда $
’_ o 0, ^<primeprime>_ o 0 left(k o infty
ight)и f left(
’_
ight) = 0, f left(
^<primeprime>_
ight) = 1$. Составим последовательность аргументов $
’_<1>, ^<primeprime>_<1>, ’_<2>, ^<primeprime>_<2>, cdots$. Тогда соответствующая им последовательность значений функции будет иметь вид $0, 1, 0, 1,…$ , которая, очевидно, расходится. Итак, мы построили стремящуюся к нулю последовательность отличных от нуля аргументов, такую, что соответствующая последовательность значений функции не имеет предела. Значит, на основании определения предела функции, функция $displaystyle f left(x
ight) = sin frac<1>
$ не имеет предела при $x o 0$.

Идея решения этого примера часто используется и при решении других задач. Именно, для того чтобы показать, что функция $f$ не имеет предела при $x o a$, достаточно построить две последовательности $left<’_
ight>$ и $left<
^<primeprime>_
ight>$, стремящиеся к $a left(
’_
eq a,
^<primeprime>_
eq a
ight)$, такие, что $left’_

ight)
ight> $ и $left^<primeprime>_

ight)
ight>$ аргументов $
’_<1>, ^<primeprime>_<1>, ’_<2>, ^<primeprime>_<2>, cdots$ соответствующая последовательность значений функции $f left(’_ <1>
ight), f left(
^<primeprime>_ <1>
ight), f left(
’_ <2>
ight), f left(
^<primeprime>_ <2>
ight), cdots$ будет расходящейся, так как у нее есть два различных частичных предела (не выполнено условие критерия сходимости в терминах верхнего и нижнего пределов последовательности).

Теорема (арифметические свойства пределов).
Пусть функции $f$ и $g$ заданы в проколотой окрестности $U$ точки $a$ $lim limits_ f left(x
ight) = A$ и $lim limits_
g left( x
ight) = B$. Тогда
1) $lim
left( f left(x
ight) + g left(x
ight)
ight) = A + B$;
2) $lim
left(f left(x
ight) cdot g left(x
ight)
ight)= A cdot B$;
3) если $ g left(x
ight)
eq 0 left(x in U
ight)$ и $ B
eq 0, $ то $displaystyle lim limits_
frac = frac.$

Эта теорема мгновенно может быть получена как следствие соответствующей теоремы об арифметических свойствах пределов последовательностей. Достаточно применить определение предела в смысле Гейне.

Теорема (предельный переход и неравенства).
Пусть функции $f$ и $g$ заданы в проколотой окрестности $U$ точки $a$, $lim limits_f left(x
ight) = A$ и $lim limits_
g left(x
ight) = B$, причем $B > A$. Тогда найдется проколотая окрестность $Delta ⊂ U$ точки $a$, такая, что $f left(x
ight) 0$ и найдем такое $<delta>’ > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 0$, что если только $0 0$. Тогда для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 Следствие. Если $f left(x
ight) leqslant g left(x
ight)$ для всех $x$, принадлежащих проколотой окрестности $U$ точки $a$, то $lim limits_
f left(x
ight) leqslant lim limits_
g left(x
ight)$, если эти пределы существуют. Действительно, если предположить, что $lim limits_
f left(x
ight) Теорема (о трех пределах). Пусть функции $f, g, h$ определены в проколотой окрестности $U$ точки $a$ и такие, что $f left(x
ight) leqslant g left(x
ight) leqslant h left(x
ight)$ для всех $x in U$. Если $lim limits_
f left(x
ight) = lim limits_
h left(x
ight) = A$, то существует $lim limits_
g left(x
ight) = A$.

Для доказательства этой теоремы достаточно применить определение предела функции по Гейне и соответствующую теорему о трех пределах для последовательностей.

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых могут использоваться предел функции и его элементарные свойства. Читателю с целью самопроверки предлагается решить данные примеры самому, а затем сверить свое решение с приведенным.

    Пользуясь определением предела функции по Гейне, доказать, что $f left(x
    ight) = cos x$ не имеет предела при $x o infty $.
    Решение

Выберем две последовательности точек $left < ’_
ight >$, $
’_ = left left( frac<pi> <2>+ 2 pi n
ight
ight), n in mathbb
$ и $left <
^<primeprime>_
ight >$, $
^<primeprime>_ = left(2 pi n
ight), n in mathbb
.$ Обе эти последовательности стремятся к $+infty$. Им соответствуют последовательности значений функций: $left < f left(
’_
ight)
ight >$, $f left(
’_) = cos left ( frac<pi> <2>+ 2 pi n
ight ) = 0$ и $left < f left(
^<primeprime>_
ight)
ight >$, $f left(
^<primeprime>_
ight) = cosleft ( 2 pi n
ight ) = 1$. Последовательности значений функции $left < f left(
’_
ight)
ight >$ и $left < f left(
^<primeprime>_
ight)
ight >$ — стационарные, сходятся к числам $A = 0$ и $B = 1$ соответственно. Так как $A
eq B$, то ни число $A$, ни число $B$, ни какое-либо другое число не могут быть пределом функции $f left(x
ight)$ при $x o +infty$, т.е. функция $f left( x
ight)$ не имеет предела при $x o +infty$.

Доказать, что $lim limits_ f left(x
ight) = A$ (указать $delta_<varepsilon>$).$$lim limits_
frac <7x^<2>+ 8x + 1>= -6.$$
Решение

Положим $f left(x
ight) = frac <7x^<2>+ 8x + 1>= -6.$ Надо показать, что для любого $varepsilon > 0$ найдется такое положительное число $delta$ , что для всех $left|x — 1
ight|
Пользуясь определением пределов функции по Коши и другими определениями предела функции в точке, показать, что $$lim limits_
left(4x — 5
ight) = 3$$
Решение

Надо показать, что для любого $varepsilon > 0$ существует такое $delta = delta_ <varepsilon>> 0$, что для всех $х$ (область определения функции $fleft(x
ight) = 4x — 5$ – вся числовая ось), удовлетворяющих неравенству $0

Первое определение предела функции (по Гейне)

Число a называется пределом функции f ( x ) в точке x :
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x , на которой функция определена;
2) для любой последовательности < xn > , сходящейся к x :
, элементы которой принадлежат окрестности ,
последовательность < f ( xn )> сходится к a :
.

Здесь x и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность может быть как двусторонней, так и односторонней.

Читайте также:  Ведьмак 3 озвучка лютика

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

Второе определение предела функции (по Коши)

Число a называется пределом функции f ( x ) в точке x :
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x , на которой функция определена;
2) для любого положительного числа ε > 0 существует такое число δε > 0 , зависящее от ε , что для всех x , принадлежащих проколотой δε — окрестности точки x :
,
значения функции f ( x ) принадлежат ε — окрестности точки a :
.

Точки x и a могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. Окрестность также может быть как двусторонней, так и односторонней.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

В этом определении используются окрестности с равноудаленными концами. Можно дать и эквивалентное определение, используя произвольные окрестности точек.

Определение с использованием произвольных окрестностей
Число a называется пределом функции f ( x ) в точке x :
,
если
1) существует такая проколотая окрестность точки x , на которой функция определена;
2) для любой окрестности U ( a ) точки a существует такая проколотая окрестность точки x , что для всех x , принадлежащих проколотой окрестности точки x :
,
значения функции f ( x ) принадлежат окрестности U ( a ) точки a :
.

С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать так:
.

На странице «Окрестность точки» мы показали, что определение предела функции с использованием более простой окрестности с равноудаленными концами эквивалентно определению, в котором используется произвольная окрестность. Формулировка второго определения по Коши имеет более общий вид, и оно часто используется при доказательстве теорем. Первое определение, в математическом смысле, проще. Его удобно применять в вычислениях.

Более подробно определение Коши для конечных точек рассматривается на странице «Определение предела функции в конечной точке»; для бесконечно удаленных точек – на странице «Определение предела функции на бесконечности».

Односторонние и двусторонние пределы

Приведенные выше определения универсальны в том смысле, что их можно использовать для любых типов окрестностей. Если, в качестве мы используем левостороннюю проколотую окрестность конечной точки, то получим определение левостороннего предела . Если в качестве окрестности использовать окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела на бесконечности.

Для определения предела по Гейне это сводится к тому, что на произвольную, сходящуюся к , последовательность накладывается дополнительное ограничение – ее элементы должны принадлежать соответствующей проколотой окрестности точки .

Для определения предела по Коши нужно в каждом случае преобразовать выражения и в неравенства, используя соответствующие определения окрестности точки.
См. «Окрестность точки».

Определение, что точка a не является пределом функции

Часто возникает необходимость использовать условие, что точка a не является пределом функции при . Построим отрицания к изложенным выше определениям. В них мы предполагаем, что функция f ( x ) определена на некоторой проколотой окрестности точки x . Точки a и x могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными. Все сформулированное ниже относится как к двусторонним, так и к односторонним пределам.

По Гейне.
Число a не является пределом функции f ( x ) в точке x : ,
если существует такая последовательность < xn > , сходящаяся к x :
,
элементы которой принадлежат окрестности ,
что последовательность < f ( xn )> не сходится к a :
.
.

По Коши.
Число a не является пределом функции f ( x ) в точке x :
,
если существует такое положительное число ε > 0 , так что для любого положительного числа δ > 0 , существует такое x , принадлежащее проколотой δ — окрестности точки x :
,
что значение функции f ( x ) не принадлежит ε — окрестности точки a :
.
.

Разумеется, если точка a не является пределом функции при , то это не означает, что у нее не может быть предела. Возможно, существует предел , но он не равен a . Также возможен случай, когда функция определена в проколотой окрестности точки , но не имеет предела при .

Например, функция определена при , но предела не существует. Для доказательства возьмем последовательность . Она сходится к точке 0 : . Поскольку , то .
Возьмем последовательность . Она также сходится к точке 0 : . Но поскольку , то .
Тогда предел не может равняться никакому числу a . Действительно, при , существует последовательность , с которой . Поэтому любое отличное от нуля число не является пределом. Но также не является пределом, поскольку существует последовательность , с которой .

Эквивалентность определений предела по Гейне и по Коши

Теорема
Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.

При доказательстве мы предполагаем, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Точка a также может быть конечной или бесконечно удаленной.

Доказательство Гейне ⇒ Коши

Пусть функция имеет в точке предел a согласно первому определению (по Гейне). То есть для любой последовательности , принадлежащей проколотой окрестности точки и имеющей предел
(1) ,
предел последовательности равен a :
(2) .

Покажем, что функция имеет предел в точке по Коши. То есть для любого существует , что для всех .

Допустим противное. Пусть условия (1) и (2) выполнены, но функция не имеет предела по Коши. То есть существует такое , что для любого существует , так что
.

Возьмем , где n – натуральное число. Тогда существует , причем
.
Таким образом мы построили последовательность , сходящуюся к , но предел последовательности не равен a . Это противоречит условию теоремы.

Первая часть доказана.

Доказательство Коши ⇒ Гейне

Пусть функция имеет в точке предел a согласно второму определению (по Коши). То есть для любого существует , что
(3) для всех .

Покажем, что функция имеет предел a в точке по Гейне.
Возьмем произвольное число . Согласно определению Коши, существует число , так что выполняется (3).

Возьмем произвольную последовательность , принадлежащую проколотой окрестности и сходящуюся к . По определению сходящейся последовательности, для любого существует , что
при .
Тогда из (3) следует, что
при .
Поскольку это выполняется для любого , то
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 27-04-2018 Изменено: 31-03-2019