Признак коши сильнее даламбера

Название: Числовые ряды (Д.В. Воронин)

2.3. достаточные признаки даламбера и коши

Следующие два часто используемых достаточных признака сходимости рядов доказываются на основании сравнения исследуемого ряда с рядом геометрической прогрессии, исследованном в § 1, который (ряд) является

а) либо сходящимся

;

б) либо расходящимся при ½q½³1.

Ниже в формулировках и доказательствах теорем обратные утверждения и условия записываем в скобках сразу за соответствующими прямыми.

Теорема 2.4. Признак Даламбера. Если все члены положительного числового ряда , начиная с некоторого номера М, отличны от нуля an ¹ 0 и удовлетворяют неравенству:

(Dn ³ 1), "n ³ M, (2.6)

то ряд сходится (расходится).

Признак Даламбера в предельной форме. Если для членов указанного выше ряда выполняется условие:

, (2.7)

то ряд сходится (расходится).

Далее последовательность называется «последовательностью Даламбера» для ряда .

Доказательство. Докажем первое утверждение. Положим bn=qn (bn=1). Тогда справедливы неравенства:

, "n ³ M,

с помощью которых, используя неравенства (2.6), получаем соотношения:

.

Отсюда, в силу сходимости (расходимости) ряда , на основании теоремы 2.3 получаем сходимость (расходимость) ряда .

Докажем второе утверждение. Из условия (6) и определения верхнего (нижнего) предела последовательности следует, что существуют число e > 0 и номер М такие, что выполняется неравенство

Очевидно, что число (1–e) играет роль числа q в первом утверждении данной теоремы, из которого следует сходимость (расходимость) исследуемого ряда, что и требовалось доказать.

При доказательстве данной теоремы мы пользовались признаком сравнения рядов в форме теоремы 2.3. При доказательстве следующего признака сходимости воспользуемся признаком сравнения рядов в форме теоремы 2.2.

Теорема 2.5. Радикальный признак Коши. Если для членов положительного числового ряда , начиная с некоторого номера М, выполняется неравенство

(Kn ³ 1), "n ³ M, (2.8)

то ряд сходится (расходится).

Радикальный признак Коши в предельной форме. Если для членов указанного выше ряда выполняется условие:

, (2.9)

то ряд сходится (расходится).

Читайте также:  Как подключить кнопочный телефон к компьютеру

Далее последовательность называется последовательностью Коши для ряда .

Доказательство. Докажем первое утверждение. Положим bn= qn (bn=1). Тогда из неравенства (7) получаем

и так как ряд сходится (расходится), то на основании теоремы 2.2 из полученного неравенства следует сходимость (расходимость) ряда .

Докажем второе утверждение. Из условия (6) и определения верхнего (нижнего) предела последовательности следует, что существуют число e > 0 и номер М такие, что выполняется неравенство

Очевидно, что число (1 – e) играет роль числа q в первом утверждении данной теоремы, из которого следует сходимость (расходимость) исследуемого ряда, что и требовалось доказать.

Замечание 3. В непредельных формулировках теорем 2.4 и 2.5 неравенства

Содержание

Читать: Аннотация
Читать: Предисловие
Читать: § 1. понятие числового ряда, сходимость ряда, умножение ряда на число, сложение рядов
Читать: 1.1. определения
Читать: 1.2. критерий коши сходимости ряда
Читать: 1.3. свойства сходящихся рядов
Читать: 1.4. примеры числовых рядов
Читать: § 2. положительные числовые ряды. признаки сходимости и расходимости положительных числовых рядов
Читать: 2.1. необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда
Читать: 2.2. признаки сравнения
Читать: 2.3. достаточные признаки даламбера и коши
Читать: 2.4. достаточные признаки раабе, куммера, бертрана, гаусса

Теоретические основы

Признак признак Даламбера, как и признак сравнения, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов, так как исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Признак Даламбера предполагает найти предел отношения некоторого ряда к предыдущему члену того же ряда. Признак Даламбера, скорее всего, работает, если в выражение ряда входят:

  • число в степени,
  • факториал,
  • цепочки множителей один-три-пять-семь и так далее.

Основной фигурант признака Даламбера — дробь, в числителе которой некоторый член ряда, а в знаменателе — предыдущий член того же ряда. Вычисляется предел этого отношения. Впрочем, перейдём к научной форме изложения рассматриваемого признака.

Теорема. Пусть для ряда с положительными членами при существует предел отношения (n+1)-го члена к предыдущему ему n-му члену, то есть

Читайте также:  Призрак оперы какого года

  • а) если предел отношения меньше единицы (), то ряд сходится;
  • б) если предел отношения больше единицы (), то ряд расходится;
  • в) если предел отношения равен единице (), то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.

Решаем примеры

Пример 1. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Найдём отношение

Так как , а , то

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Общий член данного ряда

а следующий за ним член

Находим их отношение:

Пример 3. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Используя признак Даламбера, получаем

Таким образом, получилась неопределённость вида ∞/∞. Раскроем её с помощью правила Лопиталя:

Поскольку l = 1, о сходимости ряда ничего определённого сказать нельзя. Необходимо дополнительное исследование. Сравним данный ряд с гармоническим. Так как при n > 1 получается ln (n + 1) 1/(n + 1), т.е. члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, а поэтому данный ряд также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Решение. Так как

Признак Даламбера не решает вопроса о сходимости. Продолжим исследование. Поскольку n

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Предел отношения больше единицы, поэтому о сходимости не может быть и речи.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Получили значение меньше единицы и, значит, установили сходимость.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

Решение. Запишем n-й член ряда:

Решение. Запишем n+1-й член ряда:

Находим предел их отношения:

Предел отношения членов рядов меньше единицы, поэтому констатируем сходимость.

Пущай для ряда un с положит членами существует предел:

, то

1 Если k 1 ряд расходится

Пусть для того же самого ряда (т. е. положительного) существует предел: , тогда

1 Если k 1 ряд расходится

Читайте также:  Как использовать новую батарею для телефона самсунг

А вот если эти все пределы по Коши и дедушке Даламберу равны 1, то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Ряд называется знакочередующимся если каждая пара соседних членов имеет разные, если считать каждый член сего ряда положительным то его можно записать в виде:

Т (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося ряды выполняются условия:

2)

то ряд сходится, а его сумма и остаток rn удовлетворяют неравенствам: 0

Пусть задана последовательность числовых ф-ций Формально написанную сумму: (2) называют функциональным рядом на множестве Е, а ф-цию un(x) – его членами. Аналогично случаю числовых рядов сумма: Sn(x) = u1(x)+u2(x)+…+un(x) называется частичной суммой ряда n порядка, а ряд: un+1? un+2… — его n-ным остатком. при каждом фиксированном х = х0 Î Е получим из (1) числовую последовательность , а из (2) – числовой ряд , которые могут сходится или расходится. если кто-нибудь из оных сходится, то сходится и функциональная посл (1) в т х0, и сия точка наз. точкой сходимости.

Если посл(1) сход на м-ж Е, то ф-ция f, определенная при " x Î E f(x) = называется пределом посл (1), если ряд(2) сходится на м-ж Е, то ф-ция S(x) определенная при " x Î Е равенством

S(x)=

называется суммой ряда (2).

Остаток ряда сходится только когда на этом же м-ж сходится сам ряд., если обозначить сумму остатка ряда через rn(ч), то S(x) = Sn(x)+rn(x)

Если ряд (2) сходится абсолютно, то он наз абсолютно сходящимся на м-ж Е. Множество всех точек сходимости функционального ряда наз областью сходимости. Для определения области сходимости можно использовать признак Даламбера и Коши. С ихнею помашшю ф-ц ряд исследуется на абсолютную сходимость Например, если существует

и

, то ряд (2) абсолютно сходится при k(x) 1.