Проиллюстрировать на кругах эйлера множества

Круги Эйлера фигуры, условно изображающие множества

кругами Эйлера называют фигуры, условно изображающие множества и наглядно иллюстрирующие некоторые свойства операций над множествами. В литературе круги Эйлера иногда называют диаграммами Вен на (или диаграммами Эйлера — Венна). Круги Эйлера, иллюстрирующие основные операции над множествами, представлены на рис. 1.2 (множества, полученные в результате этих операций, отмечены штриховкой). АПВ 00 АЬВ Рис. 1.2 Пример 1.8. При помощи кругов Эйлера установим сначаг ла справедливость первого соотношения, выражающего свойство дистрибутивности операций объединения и пересечения множеств,

  • На рис. 1.3,а вертикально заштрихован круг, изображающий множество А) а горизонтально — область, отвечающая пересечению множеств В и С. В итоге тем или иным способом заштрихована область, изображающая множество A U (БПС). На рис. 1.3,5 вертикально заштрихована область, соответствующая объединению множеств Л и Б, а горизонтально — объединению множеств Л и С, так что обоими способами заштрихована область, изображающая множество (A U В) П (A U С) и совпадающая с областью, заштрихованной каким-либо способом на рис. 1.3,а. Таким образом, круги Эйлера позволяют установить справедливость (1.10).
  • Теперь рассмотрим второй закон де Моргана (1.7) Заштрихованная на рис. 1.4,а область изображает множество ЛИВ, а незаштрихованная часть прямоугольника Q (внешняя по отношению к заштрихованной) соответствует множеству ЛПВ. На рис. 1.4,5 части прямоугольника 12, заштрихованные вертикально и горизонтально, отвечают соответственно А и В. Тогда множеству Ли В отвечает область, заштрихованная хотя бы одним из указанных способов. Она совпадает с областью, не заштрихованной на рис. 1.4,а и отвечающей множеству ЛПБ, что устанавливает справедливость (1.11). Вопросы и задачи 1.1.

Запись m|n, где m,n € Z, означает, что число m нацело делит число п (то — делитель п). Описать заданные множества при условии, что х € N: 1.2. Доказать следующие соотношения и проиллюстрировать их кругами Эйлера: . 1.3. Установить, в каком отношении (X С Y, X Э У или X = Y) находятся множества X и У, если: а Использовать для иллюстрации круги Эйлера. 1.4. Пусть Aj — множество точек, образующих стороны некоторого треугольника, вписанного в заданную окружность. Описать объединение и пересечение всех таких множеств, если треугольники: а) произвольные; б) правильные; в) прямоугольные. Найти IK и flAi ieN i en для заданных семейств множеств: 1.6. Указать, какие из представленных ниже соотношений неверны, и объяснить, почему: 1.7.

Примеры решения в задачах

Методические указания и учебники решения и формулы
задачи и методички теория

Указать, какие из множеств равны между собой: . 1.8. Найти множества Ли В, АГВ, АВ, ВА и изобразить их на числовой прямой, если А = ( 1.0. Считая отрезок [0, 1] универсальным множеством, найти и изобразить на числовой прямой дополнения множеств: . 1.10. По приведенным ниже описаниям множеств людей подберите для каждой записи высказывания на языке множеств подходящую пословицу или поговорку. Надеемся, что это позволит лишний раз проанализировать смысл народных изречений. Например, если Z —множество людей, которые сами как следует не знают того, о чем говорят, то запись х £ Z можно отнести к пословице „Слышал звон, да не знает, где он, поскольку именно так говорят о человеке, наделенном указанным свойством (в данном случае — характеристическим свойством множества Z, см. 1.1).

Множества людей ft — универсальное множество всех людей, Л — добрые, 5е В — незаурядные, с большими способностями, С — глупые, D — умные, Е — поступающие по своему, не слушающие советов, F — связанные корыстными отношениями, G — много обещающие, Я — не выполняющие своих обещаний, J — злоупотребляющие своим служебным положением, К — слишком важничающие, задающиеся, L — вмешивающиеся не в свое дело, М — предприимчивые, ловкие, умеющие устраиваться, Р — берущиеся за несколько дел сразу, Q — плодотворно работающие, S — ошибающиеся, Т — чувствующие вину и возможность расплаты, U — не добивающиеся результатов, V — выдающие себя своим поведением, W- недальновидные, X — действующие заодно, не предающие друг друга, У — бывалые, опытные люди. Запись высказываний на языке множеств хеК; xeGnH; xCBCiQ; x£jrU; xeJ; хеМ; хеСПЕ; xCTnV; xEPDU; xGE; x € FnX; xeYnS; xeDOW. Пословицы и поговорки — Бодливой корове бог рог не дает. — Большому кораблю — большое плавание. — Вольному воля. — Ворон ворону глаз не выклюет. — Дуракам закон не писан. — За двумя зайцами погонишься, ни одного не поймаешь. —

  • Знает кошка, чье мясо съела. — Знай сверчок свой шесток. — И на старуху бывает проруха. — Курице не тетка, свинье не сестра. — Кто смел, тот и съел. — На всякого мудреца довольно простоты. — Наделала синица славы, а море не зажгла. — Свет не без добрых людей. 1.11.
  • Доказать справедливость соотношений (1.2). 1.12.
  • Доказать справедливость второго из соотношений свойства дистрибутивности операций объединения и пересечения непосредственно и методом от противного. 1.13. Применив метод математической индукции, докаг -эать, что для любого натурального числа п справедливы неравенства п^2п
Читайте также:  Сервисные коды asus zenfone 2

1 и (l + :r)n ^ 1 + ns, Vs>-1 (неравенство Бернулли). 1.14.

  • Доказать, что среднее арифметическое п положительных действительных чисел не меньше их среднего геометрического, т.е. п 1.15. Брауну, Джонсу и Смиту решение задач по высшей математике предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что это был синий „Бьюик", Джонс — голубой „Крайслер", а Смит — „Форд Мустанг", но не синий.
  • Какого цвета был автомобиль и какой марки, если известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо только ее цвет? 1.1в. Для полярной экспедиции из восьми претендентов А, В, С, Д J5, F, G и Я надо отобрать шесть специалистов: биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика и врача. Обязанности биолога могут выполнять Е и G, гидролога — В и F, синоптика — F и G, радиста — С и Д механика — С и Я, врача — А и Д но каждый из них, если будет в экспедиции, сможет выполнять лишь одну обязанность. Кого и кем следует взять в экспедицию, если F не может ехать без D — без Я и без С, С не может ехать с G, а Д — с В?

    Информация расположенная на данном сайте несет информационный характер и используется для учебных целей.
    © Брильёнова Наталья Валерьевна

    Математика по своей сути наука абстрактная, если отойти от элементарных понятий. Так, на паре-тройке яблок можно наглядно изобразить основные операции, что лежат в основе математики, но, как только плоскость деятельности расширяется, этих объектов становится недостаточно. Кто-нибудь пробовал изобразить на яблоках операции над бесконечными множествами? В том-то и дело, что нет. Чем сложнее становились понятия, которыми оперирует математика в своих суждениях, тем проблематичнее казалось их наглядное выражение, которое было бы призвано облегчить понимание. Однако, на счастье как современных студентов, так и науки в целом, были выведены круги Эйлера, примеры и возможности которых мы рассмотрим ниже.

    Немного истории

    17 апреля 1707 года мир подарил науке Леонарда Эйлера — замечательного ученого, чей вклад в математику, физику, кораблестроение и даже теорию музыки не переоценить.

    В чем же суть?

    На практике круги Эйлера, схема которых изображена ниже, могут применяться не только в математике, так как понятия "множества" присущи не только данной дисциплине. Так, они с успехом применяются и в менеджменте.

    Схема выше показывает отношения множеств А (иррациональные числа), В (рациональные числа) и С (натуральные числа). Круги показывают, что множество С включено в множество В, тогда как множество А с ними никак не пересекается. Пример простейший, но наглядно объясняет специфику "взаимоотношений множеств", которые слишком абстрактны для реального сравнения хотя бы в силу их бесконечности.

    Алгебра логики

    Данная область математической логики оперирует высказываниями, которые могут носить как истинный, так и ложный характер. Например, из элементарного: число 625 делится нацело на 25, число 625 делится нацело на 5, число 625 является простым. Первое и второе утверждения – истина, тогда как последнее – ложь. Конечно, на практике все сложнее, но суть показана ясно. И, конечно же, в решении опять участвуют круги Эйлера, примеры с их использованием слишком удобны и наглядны, чтобы их игнорировать.

    • Пусть множества А и В существуют и не являются пустыми, тогда для них определены следующие операции пересечения, объединения и отрицания.
    • Пересечение множеств А и В состоит из элементов, что принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В.
    • Объединение множеств А и В состоит из элементов, что принадлежат множеству А или множеству В.
    • Отрицание множества А — это множество, что состоит из элементов, которые не принадлежат множеству А.
    Читайте также:  Глутамат натрия как применять

    Все это изображают опять же круги Эйлера в логике, так как с их помощью каждая задача, вне зависимости от степени сложности, становится очевидной и наглядной.

    Аксиомы алгебры логики

    Положим, что 1 и 0 существуют и определены во множестве А, тогда:

    • отрицание отрицания множества А есть множество А;
    • объединение множества А с не_А есть 1;
    • объединение множества А с 1 есть 1;
    • объединение множества А с самим собой есть множество А;
    • объединение множества А с 0 есть множество А;
    • пересечение множества А с не_А есть 0;
    • пересечение множества А с самим собой есть множество А;
    • пересечение множества А с 0 есть 0;
    • пересечение множества А с 1 есть множество А.

    Основные свойства алгебры логики

    Пусть множества А и В существуют и не являются пустыми, тогда:

    • для пересечения и объединения множеств А и В действует переместительный закон;
    • для пересечения и объединения множеств А и В действует сочетательный закон;
    • для пересечения и объединения множеств А и В действует распределительный закон;
    • отрицание пересечения множеств А и В есть пересечение отрицаний множеств А и В;
    • отрицание объединения множеств А и В есть объединение отрицаний множеств А и В.

    Ниже показаны круги Эйлера, примеры пересечения и объединения множеств А, В и С.

    Перспективы

    Работы Леонарда Эйлера обоснованно считаются базой современной математики, однако сейчас их с успехом применяют в областях человеческой деятельности, что появились относительно недавно, взять хотя бы корпоративное управление: круги Эйлера, примеры и графики описывают механизмы моделей развития, будь то российская или англо-американская версия.

    Разделы: Математика

    Современный математический язык более краток и заменяет разговорный язык специальными буквенными и символьными выражениями. Понятия и обозначения языка теории множеств составляет фундамент современного математического языка. Всякий объект, входящий во множество, называют его элементом. Например, если множество – дни недели, то понедельник элемент этого множества.

    Блок 1. Множества и операции над ними.

    Презентация. (Слайд 2) Вопросы к слайду 2:

    1. Перечислите элементы множеств:
      а) арабских цифр; (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)
      б) натуральных чисел; (1; 2; 3; 4;…)
      в) целых чисел (…-2; -1; 0; 1; 2;…).
    2. Как называется множество цветов, стоящих в вазе? (букет).
    3. Перечислите элементы множества планет солнечной системы. (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун).
    4. Как называется множество фруктовых деревьев и кустарников растущих у дома? (сад).
    5. Приведите примеры множеств, элементами которого являются геометрические фигуры.
    6. Какие названия применяют для обозначения множеств животных? (млекопитающие, земноводные, хладнокровные и т.п.).
    7. Перечислите элементы множества видов спорта (футбол, теннис, волейбол и т. п.).
    8. Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей? (флотилия, эскадра).

    Задайте сами множество описанием.

    (Слайд 3) Множества обычно обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, С, Д, и т. д. Некоторые числовые множества столь часто встречающиеся в различных разделах математики, что для них ввели специальные обозначения:

    N – множество натуральных чисел;

    Z – множество целых чисел;

    Q – множество рациональных чисел;

    I – множество иррациональных чисел;

    R – множество действительных чисел.

    (Слайд 4) Чтобы не забыть, что перечисляемые элементы объединены вместе в некоторое множество, такое перечисление производят внутри фигурных скобок .

    Например, цифры десятичной системы счисления задаются множеством

    Если множество состоит из чисел, то при их перечислении иногда удобнее использовать не запятую, а знак препинания “ ; ” – точку с запятой. Так как “перечислительную” запятую можно спутать с “десятичной” запятой.

    Элементы множества можно перечислять в произвольном порядке. От изменения порядка перечисления элементов само множество не меняется. Например, множество гласных букв русского алфавита задается <А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я>или <Э, Е, А, Ё, Я, О, Ы, И, У, Ю>.

    Читайте также:  Выравнивание текста по левому краю html

    Эти множества состоят из одних и тех же элементов, их называют равными, а для записи равенства двух множеств употребляют знак “ = ”.

    Чтобы задать конечное множество, можно просто перечислить все его элементы.

    Например, запись А = <2; 3; 5; 7; 11; 13>означает, что множество А состоит из первых шести простых чисел.

    Однако задавать множество путем перечисления его элементов удобно только в том случае, когда их число невелико. Если число элементов множества достаточно велико или множество бесконечно, то явное перечисление элементов такого множества невозможно.

    Способы задания, описания множеств весьма разнообразны. Например, множество всех квадратов натуральных чисел можно записать <1; 4; 9; 16; 25; …>, а множество всех чисел, которые больше 5 и меньше 12 записать <х | 5 2 – 1 2 + 16х ? – 64>?

    (Слайд 8) Возьмем множество А = <2; 4; 6>и В = <1; 2; 3; 4; 5; 6; 7>. Каждый элемент множества А принадлежит также и множеству В. В таких случаях говорят, что множество А является подмножеством множества В, и пишут: А В.

    Знак” называют знаком включения.

    Соотношения между множествами А и В можно проиллюстрировать на рисунке с помощью так называемых кругов Эйлера ( Леонард Эйлер российский ученый — математик, механик, физик и астроном.). Множество изображается в виде некоторого круга, а его элементы изображаются точками этого круга (рис 1).

    Пустое множество считают подмножеством любого множества. А В. Будем считать, что все элементы рассматриваемых множеств взяты из некоторого одного и того же “универсального” множества К. Это множество будем изображать квадратом, а рассматриваемые множества А, В, С, … – подмножества множества К – кругами (или другими полученными из них фигурами, которые выделим штриховкой).

    (Слайд 9) Задание 3. [3; 1]

    Поставьте вместо … знак включения ( или ) так, чтобы получилось верное утверждение: а) А… D; б) А…В; в) С…А; г) С…В.

    Верно ли, что: а) А В; б) В С; в) С А; г) С В?

    (Слайд 10) Из данных множеств с помощью специальных операций можно образовывать новые множества:

    1) Пересечением множества А и В называют множество, состоящие из всех общих 11элементов множеств А и В, т. е. из всех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В (рис. 2). Пересечение множеств А и В обозначают так: АВ. Это определение можно записать и так: АВ = <х | х А и х В>. Иными словами, пересечение двух множеств – это их общая часть. Например, если А = <3; 9; 12>и В = <1; 3; 5; 7; 9; 11>, то АВ = <3; 9>. Если А = <10; 20; …90; 100>и В = <6; 12; 18;…>, то АВ = <30; 60; 90>. Можно рассматривать пересечение не только двух, но трех, четырех и т. д. множеств. Пересечение множеств В, С и D обозначают так: ВСD.

    (Слайд 11) Задание 4. [3; 1]

    Найдите: а) АВ; б) АС; в) СВ.

    2. Даны множества: А – множества всех натуральных чисел, кратных 10, В = <1; 2; 3;…, 41>.

    Найдите АВ.

    Найдите (АВ) С.

    2) Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств – или множеству А, или множеству В (рис. 3). Объединение множеств А и В обозначают так: АUВ.

    Это определение можно записать и так: АUВ = <х | х А или х В>. Например, если А = <3; 9; 12>и В = <1; 3; 5; 7; 9; 11>, то АUВ = <1; 3; 5; 7; 9; 11; 12>. Можно рассматривать объединение не только двух, но трех, четырех и т.д. множеств. Объединение множеств В, С и D обозначают так: ВUСUD.

    (Слайд 13) Задание 5. [3; 1]

    Найдите: а) АUВ; б) АUС; в) СUВ.

    3. Даны три числовых промежутка: А = (7,7; 11), В = [; ], С = (; 13].