Производная это тангенс угла наклона касательной

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Геометрический смысл производной

Ты уже знаешь что такое производная? Если нет, сперва прочти тему «Производная». Итак, ты говоришь, что знаешь производную. Сейчас проверим. Найди приращение функции при приращении аргумента, равном . Справился? Должно получиться . А теперь найди производную функции в точке . Ответ: . Получилось? Если в каком-нибудь из этих примеров возникли сложности, настоятельно рекомендую вернуться к теме «Производная» и проштудировать ее еще раз. Знаю, тема очень большая, но иначе нет смысла идти дальше. Рассмотрим график какой-то функции :

Выберем на линии графика некую точку . Пусть ее абсцисса , тогда ордината равна . Затем выберем близкую к точке точку с абсциссой ; ее ордината – это :

Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии). Обозначим угол наклона прямой к оси как . Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки. Какие значения может принимать угол ? Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – , а минимально возможный – . Значит, . Угол не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с , а логичнее выбирать меньший угол. Возьмем на рисунке такую точку , чтобы прямая была параллельна оси абсцисс, а – ординат:

По рисунку видно, что , а . Тогда отношение приращений:

(так как , то – прямоугольный).

Давай теперь уменьшать . Тогда точка будет приближаться к точке . Когда станет бесконечно малым , отношение станет равно производной функции в точке . Что же при этом станет с секущей? Точка будет бесконечно близка к точке , так что их можно будет считать одной и той же точкой. Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки , но этого достаточно). Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Угол наклона секущей к оси назовем . Тогда получится, что производная

то есть производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке.

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

За что отвечает коэффициент ? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент. Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью ! То есть вот что получается:

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей? Посмотрим: Теперь углы и тупые. А приращение функции – отрицательное. Снова рассмотрим : . С другой стороны, . Получаем: , то есть все, как и в прошлый раз. Снова устремим точку к точке , и секущая примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке . Итак, сформулируем окончательно полученное правило:
Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

Это и есть геометрический смысл производной. Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:
На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .
Решение.
Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс: . Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной. На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!

Угол наклона касательной к оси – это . Найдем тангенс этого угла: . Таким образом, производная функции в точке равна .
Ответ: . Теперь попробуй сам:

  1. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .
  2. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .
Читайте также:  Как отменить загрузку фото в гугл фото

Ответы:

    Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс: . Достроим треугольник со стороной , лежащей на касательной.

Угол наклона касательной – это угол, отмеченный зеленым на графике. Он тупой 90<>^circ
ight)"> , поэтому его тангенс не получится вычислить так же, как в предыдущем примере (ведь в прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла). Применим знания из тригонометрии. Интересующий нас угол является смежным с . А значит: Найдем : . Значит тангенс угла наклона касательной (а вместе с ним и значение производной в точке касания) равен .
Ответ: .

  • Здесь ответ равен . В ЕГЭ такой ответ написать не получится, но мы ведь должны понимать, что математика не ограничена рамками ЕГЭ.
  • Зная геометрический смысл производной, можно очень просто объяснить правило, что производная в точке локального максимума или минимума равна нулю. Действительно, касательная к графику в этих точках «горизонтальна», то есть параллельна оси абсцисс:
    А чему равен угол между параллельными прямыми? Конечно, нулю! А тангенс нуля тоже равен нулю. Вот и производная равна нулю:

    Более подробно об этом читай в теме «Монотонность функций. Точки экстремума».

    Уравнение касательной

    А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных. Предположим, у нас есть какая-то функция, например, . Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке . Например, в точке . Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:

    Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости? Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты и в уравнении

    Но ведь мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:

    В нашем примере будет так:

    Теперь остается найти . Это проще простого: ведь – значение при . Графически – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь во всех точках оси ):

    Проведём (так, что – прямоугольный). Тогда (тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны и ? По рисунку явно видно, что , а . Тогда получаем:

    Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:

    Это и есть уравнение касательной к графику функции в точке .

    Пример:
    Найди уравнение касательной к графику функции в точке .
    Решение:
    На этом примере выработаем простой алгоритм действий в подобных задачах:

    Алгоритм Пример: ,
    1. Вычислим
    2. Найдём формулу производной функции
    3. Вычислим
    4. Подставим и в формулу уравнения касательной

    Теперь реши сам:

    1. Найди уравнение касательной к функции в точке .
    2. Касательная к параболе пересекает ось под углом . Найди уравнение этой касательной.
    3. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
    4. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
    5. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

    Решения и ответы:

    1. Всё по плану:
      • .
      • .
      • .
      • Поскольку функция на этот раз называется буквой y, то чтобы не запутаться, для касательной введем другую букву: .
      • То, что нам известен угол наклона касательной, очень хорошо: ведь его тангенс равен производной функции, а также угловому коэффициенту касательной. Но тут есть подвох: дело в том, что под углом ось могут пересекать две разные касательные: с наклоном «вправо» и «влево»:

        Прямая 2 (та, которая «наклонена влево») с положительным направлением оси составляет угол – это и есть угол наклона прямой к оси . Дальше всё просто: , .
        Прямая 1. , .
        Касательная: .
        Прямая 2. , .
        Касательная: .
        Ответ:; .
      • Абсцисса – это ось , а значит, нам нужно найти значение в точке пересечения касательной и графика функции. Из уравнения мы знаем, что угловой коэффициент наклона касательной равен значению производной в точке касания. Поскольку прямая параллельна касательной, это значит, что их угловые коэффициенты наклона одинаковые .

        Согласно правилам вычисления производных, находим производную функции :
        .
        Теперь приравниваем производную к коэффициенту наклона касательной и находим абсциссу точки касания:

        .

        Ответ:.

      • Ответ: .
      • Ответ: .

      УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

      Геометрический смысл производной

      Производная функции в конкретной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или угловому коэффициенту этой касательной:

      Уравнение касательной к графику функции в точке :

      Алгоритм действий для нахождения уравнения касательной:

      Алгоритм Пример: ,
      1. Вычислим
      2. Найдем формулу производной функции
      3. Вычислим
      4. Подставим и в формулу уравнения касательной

      Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

      Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

      В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

      Производная — это скорость изменения функции.

      На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

      Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

      Вот другой пример.

      Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

      На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

      Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

      На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

      Производная функции обозначается .

      Покажем, как найти с помощью графика.

      Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

      Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

      Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

      Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

      Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

      Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

      Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

      Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

      Мы получаем, что

      Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

      Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

      Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

      Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

      Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

      В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

      В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

      Вот что получается:

      Если функция возрастает, ее производная положительна.

      Если убывает, ее производная отрицательна.

      А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

      Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

      В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

      Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

      Если производная положительна, то функция возрастает.

      Если производная отрицательная, то функция убывает.

      В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

      В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

      Запишем эти выводы в виде таблицы:

      возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
      + +

      Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

      Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

      Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

      В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

      Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

      А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных.

      Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

      Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

      Обучающее видео
      БЕСПЛАТНО

      Техническая поддержка:
      help@ege-study.ru (круглосуточно)

      Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

      Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

      Все поля обязательны для заполнения

      Премиум

      Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

      Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса — от 3,5 до 4,5 часов.

      1. Уравнения (задача 13)
      2. Стереометрия (задача 14)
      3. Неравенства (задача 15)
      4. Геометрия (задача 16)
      5. Финансовая математика (задача 17)
      6. Параметры (задача 18)
      7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

      Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

      Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум — репетитор-профессионал Анна Малкова.

      Получи пятерку

      Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

      Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

      Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

      Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

      Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

      Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

      Задачи комплекта «Математические тренинги — 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

      Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

      Как пользоваться?

      1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
      2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
      3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
      4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
      5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

      Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» — всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

      Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

      Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

      — 3 темы курса (из 50).
      — Текстовый учебник с видеопримерами.
      — Мастер-класс Анны Малковой.
      — Тренажер для отработки задач.

      Регистрируйтесь, это бесплатно!

      Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных