Производная от определенного интеграла равна

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Например.

Рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции
Производная от определенного интеграла по верхнему пределу
Теорема Ньютона — Лейбница
Примеры решения задач

Определенный интеграл как площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат Oty , ось абсцисс которой в данном разделе будем обозначать Ot , а не Ox (рис. 1).

Пусть y = f (t) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, принимающая только положительные значения.

Определение 1. Фигуру, ограниченную графиком функции y = f (t) сверху, отрезком [a, b] снизу, а справа и слева отрезками прямых t = a и t = b (рис. 2), называют криволинейной трапецией.

Определение 2. Число, равное площади криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2, называют определенным интегралом от функции f (t) в пределах от a до b и обозначают

(1)

Формула (1) читается так: «Интеграл от a до b от функции f (t) по dt »

Определение 3. В формуле (1) функцию f (t) называют подынтегральной функцией, переменную t называют переменной интегрирования, отрезок [a, b] называют отрезком интегрирования, число b называют верхним пределом интегрирования, а число a – нижним пределом интегрирования.

Производная от определенного интеграла по верхнему пределу

Если обозначить S (x) площадь криволинейной трапеции, ограниченной с боков отрезками прямых t = a и t = x (рис. 3),

то будет справедлива формула

(2)

Теорема 1. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу интегрирования равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе интегрирования.

Другими словами, справедлива формула

Доказательство. Из формулы (2) следует, что

(3)

где через Δx обозначено приращение аргумента x (рис. 4)

Из формул (3) и (2) получаем, что

(4)
Читайте также:  Самая удачная модель бмв

где через ΔS обозначено приращение функции S (x), соответствующее приращению аргумента Δx (рис. 5)

Если ввести обозначения

(см. раздел «Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке»), то можно заметить, что выполнено неравенство

(5)

смысл которого заключается в том, что площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 5, не может быть меньше, чем площадь прямоугольника с основанием Δx и высотой m, и не может быть больше, чем площадь прямоугольника с основанием Δx и высотой M.

Из неравенства (5) следует, что

В силу непрерывности функции y = f (t) выполнено равенство

(6)

что и завершает доказательство теоремы 1.

Следствие 1. Функция S (x) является первообразной подынтегральной функции f (x) .

Теорема Ньютона — Лейбница

Теорема Ньютона-Лейбница. Если F (x) – любая первообразная функции f (x), то справедливо равенство

(7)
S (x) = F (x) + c (8)

Воспользовавшись равенством (8), из формулы (2) получаем, что

(9)

Подставив в формулу (9) значение x = a , получаем равенство

(10)
(11)

поскольку площадь криволинейной трапеции, «схлопнувшейся» в отрезок, лежащий на прямой t = a, равна 0 .

Из формул (10) и (11) следует, что

и формула (9) принимает вид

,

что и завершает доказательство теоремы Ньютона-Лейбница.

Замечание 1. Формулу (7) часто записывают в виде

(12)

и называют формулой Ньютона-Лейбница.

Замечание 2. Для правой части формулы Ньютона-Лейбница часто используют обозначение

Замечание 3. Формулу Ньютона-Лейбница (12) можно записывать, как с переменной интегрирования t , так и с любой другой переменной интегрирования, например, x :

Замечание 4. Все определения и теоремы остаются справедливыми не только в случае положительных непрерывных функций f (x), но и для гораздо более широкого класса функций, имеющих произвольные знаки и интегрируемых по Риману, однако этот материал уже выходит за рамки школьного курса математики.

Примеры решения задач

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Читайте также:  Привет алиса как дела что нового

Решение. Рассматриваемая фигура является криволинейной трапеции (рис. 6)

Ответ.

Задача 2. График функции y = f (x) изображен на рисунке 7.

(13)

Решение. Интеграл (13) равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x), ограниченной снизу осью абсцисс Ox и ограниченной с боков отрезками прямых x = 2 и x = 9. Криволинейная трапеция состоит из квадрата, раскрашенного на рисунке 7 розовым цветом, и трапеции, раскрашенной на рисунке 7 зеленым цветом. Площадь квадрата равна 9, а площадь трапеции равна 20. Таким образом, интеграл (13) равен 29.

(14)

Решение. Поскольку одной из первообразных подынтегральной функции интеграла (14) является функция

то в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница получаем

Ответ.

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b . Пусть функция f ( x ) интегрируема на отрезке [ a , b ]. Если , то функция f ( x ) также интегрируема на любом отрезке [ a , x ]. Если изменять верхний предел, не выходя из отрезка [ a , b ], то величина интеграла будет изменяться, т. е. интеграл с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x есть функция верхнего предела. Обозначим эту функцию Ф( x ) :

. (8)

Замечание. Для удобства переменная интегрирования здесь обозначена буквой t , так как буквой x обозначен верхний предел интегрирования.

Интеграл (8) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Сформулируем основную теорему дифференциального и интегрального исчисления, устанавливающую связь между производной и интегралом.

Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.

. (9)

Эта теорема утверждает, что любая непрерывная функция на отрезке [ a , b ] имеет на нем первообразную, причем этой первообразной является функция Ф( x ), а так как всякая другая первообразная функции f ( x ) может отличаться от данной Ф( x ) лишь на постоянную, то устанавливается связь между неопределенным и определенным интегралом .

Читайте также:  Алкатель 3v 5099d обзор

Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a , b ], то

, (10)

где F ( x ) — некоторая первообразная функции f ( x ).

Формула (10) называется формулой Ньютона — Лейбница.

Формулу Ньютона — Лейбница можно переписать как

,

где .

Вывод. Определенный интеграл от непрерывной функции f ( x ) равен разности значений любой первообразной для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Формула Ньютона — Лейбница открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, так как задача сводится к задаче вычисления неопределенных интегралов.

П р и м е р 2. Вычислить интеграл .

Решение. .

Если считать переменным нижний предел интегрирования, то пользуясь формулой Ньютона — Лейбница, получим

. (11)

Если f ( x ) — непрерывная, φ( x ), ψ( x ) — дифференцируемые функции, то производная от интеграла по переменной x

,

. (12)

П р и м е р 3. Найти производную по x от интеграла .

Решение. Здесь ; ; ; ; . φ΄( x ) = 2 x . Пользуясь формулой (12), получим