Радиус окружности в равнобедренном треугольнике

Треугольником является геометрическая фигура, у которой имеется 3 угла и 3 стороны. Если 2 угла и 2 стороны равны, то треугольник равнобедренный. Вписанная в треугольник окружность касается каждой его стороны, а ее центр находится на биссектрисе, медиане и высоте, проведенных к основанию и расположен в точке пересечения всех биссектрис. Высота, медиана и биссектриса совпадают.
Радиус r вписанной окружности в равнобедренный треугольник равен произведению половине основания треугольника b на корень квадратный из частного от деления разницы от суммы боковых его сторон минус величину основания на сумму боковых сторон и основания. Расчет производится по формуле:

a — величина боковой стороны;
b — величина основания;
r — радиус.

Чтобы не тратить много времени на вычисление радиуса, воспользуйтесь онлайн калькулятором.

Свойства равнобедренного треугольника дают возможность получить дополнительные формулы. Рассмотрим некоторые из них.

Поскольку для равнобедренного треугольника полупериметр

Так как формула площади равнобедренного треугольника по формуле Герона равна

Эту формулу можно упростить

Таким образом, радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен

Если найти площадь по боковой стороне b и высоте, проведенной к основанию ha:

то получим еще одну формулу для нахождения радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

Так как центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника, если известны углы при вершине и основании

Из прямоугольного треугольника AOF

Если известна боковая сторона и угол при основании, из прямоугольного треугольника ACF найдем AF

а затем из треугольника AOF — OF:

Эти формулы могут помочь ускорить вычисления. Запоминать их необязательно, достаточно повторить рассуждения.

Формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности, через основание треугольника и высоту:

Свойства вписанной в равнобедренный треугольник окружности. Формула радиуса

Вывод формулы радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности

Шаг 1

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС). Из вершины B опустим на основание высоту ВК.

Читайте также:  Как найти нахождение человека по номеру телефона

Пусть в этот треугольник будет вписана окружность с радиусом r и центром в точке О.

Выразим радиус вписанной окружности через основание АС и высоту ВК.

Воспользуемся формулой радиуса вписанной окружности, через площадь треугольника и его полупериметр:

Формула площади треугольника, выраженная через основание и высоту имеет следующий вид:

Осталось выразить полупериметр равнобедренного треугольника через боковую сторону и высоту. Для этого используем следующую формулу полупериметра равнобедренного треугольника:

Вывод формулы радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности. Шаг 1