Размерность суммы и пересечения подпространств

Определение и размерность подпространства

Определение 6.1. Подпространством L n-мерного пространства R называется множество векторов, образующих линейное пространство по отношению к действиям, которые определены в R.

Другими словами, L называется подпространством пространства R, если из x, y∈L следует, что x+y∈L и если x∈L, то λ x∈L, где λ— любое вещественное число.

Простейшим примером подпространства является нулевое подпространство, т.е. подмножество пространства R, состоящее из единственного нулевого элемента. Подпространством может служить и все пространство R. Эти подпространства называются тривиальными или несобственными.

Подпространство n-мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит n: dim L≤ dim R.

Сумма и пересечение подпространств

Пусть L и M — два подпространства пространства R.

Cуммой L+M называется множество векторов x+y, где x∈L и y∈M. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).

Пересечением LM подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M. Пусть G g-мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как GL и GM, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M. Покажем, что векторы

составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).

Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства F представляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:

Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор

принадлежит подпространству G=L∩M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:

Читайте также:  Инструкция по использованию микроволновой печи самсунг

Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:

Но векторы являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и . Тогда (6.2) примет вид:

В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы

линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y, где x∈L, y∈M. В свою очередь x представляется линейной комбинацией векторов а y — линейной комбинацией векторов. Следовательно векторы (6.10) порождают подпространство F. Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M.

Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Прямая сумма подпространств

Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M, если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z, где y∈ L и z∈M.

Прямая сумма обозначается LM. Говорят, что если F=LM, то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M.

Теорема 6.2. Для того, чтобы n-мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M, достаточно, чтобы пересечение L и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M.

Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве L и некоторый базис в подпространстве M. Докажем, что

является базисом пространства R. По условию теоремы размерность пространства R n равна сумме подпространств L и M (n=l+m). Достаточно доказать линейную независимость элементов (6.11). Пусть нулевой вектор пространства R представляется линейной комбинацией векторов (6.11) с некоторыми коэффициентами:

Так как левая часть (6.13) является вектором подпространства L, а правая часть — вектором подпространства M и LM= 0, то

Но векторы и являются базисами подпространств L и M соответственно. Следовательно они линейно независимы. Тогда

Установили, что (6.12) справедливо лишь при условии (6.15), а это доказывает линейную независимость векторов (6.11). Следовательно они образуют базис в R.

Читайте также:  Xy y xtg y x

Пусть x∈R. Разложим его по базису (6.11):

Из (6.17) и (6.18) следует, что любой вектор из R можно представить суммой векторов x1L и x2M. Остается доказать что это представление является единственным. Пусть кроме представления (6.17) есть и следующее представление:

Вычитая (6.19) из (6.17), получим

Так как , и LM= 0, то и . Следовательно и . ■

Найдите прямую сумму и пересечение подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

Найдем базис первой системы:

Найдем базис второй системы:

Найдем пересечение пространств и по формуле
( будет базисным вектором)

Решаем полученную систему:

Следовательно
Находим размерность суммы

выберем из системы векторов три линейнонезависимых:

Теорема 12.1В конечномерным векторным пространстве Х рамерность суммы L1+L2 равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения, т.е.

В подпространстве L1ÇL2 выберем какой-либо базис эта система векторов линейно независима. Дополним ее до базиса в L1 системой векторов s w:space="720"/> "> и до базиса в L2 системой векторов s w:space="720"/> ">

Объединяем систему = и докажем, что она является базисом в L1+L2

Через систему векторов линейно выражается любой вектор zÎ L1+L2. Действительно, для вектора z имеет z=х+у, где xÎ L1, уÎ L2. Вектор х линейно выражается через систему , а вектор у – через систему . Поэтому z линейно выражается через систему .

Докажем, что система векторов линейно независима.

(1)

Объединим слагаемые, относящиеся к векторам системе и :

Вектор а принадлежит L1. Но из равенства (1) следует, что

и вектор а принадлежит L2. Значит, аÎ L1ÇL2. Вектор а линейно выражается через систему e, т.е.

.

Можно рассматривать как разложение вектора аÎ L1 по базису .

В разложения по базису заключаем, что оба разложение совпадают, т.е. ,

С полученных равенство (1) примнимент вид

Поскольку система векторов линейно независима, это равенство возможно лишь нулевых значениях всех коэфициентов:

Доказано, система линейно независима и является базисом в подпространстве L1+L2.

Читайте также:  Буквы шаблон для вырезания формат а4

, , , то

= = = . Теорема доказана.

Прямая сумма подпространств

Множество всех векторов х вида х = a+b, где aÎ L1, bÎ L2 называют суммой подпространств L1и L2 и обозначают L1+L2. Если при этом пересечение L1ÇL2 — нулевое подпространство, то сумму L1+L2 называют прямой суммой и обозначают через L1ÅL2.

Прямое дополнение подпространств

Если сумма L1+L2 подпространств L1и L2 в Х является прямой, то представление любого вектора х в виде х=a+b, где aÎ L1, bÎ L2 единственно. В частном случае, когда X = L1ÅL2, также каждый вектор х имеет единственное представление х=a+b, где aÎ L1, bÎ L2. Подпространства L1и L2 называют прямыми дополнениями друг друга, а слагаемое aÎ L1проекцией вектора х на подпространство L1 паралельно подпространству L2.

Критерий совместимости системы линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений

А=

и расширенной матрицей

B=

Система называется совместимой, а если у системы решений нет, то несовместимой (противоречивой).

Теорема 15.1(теорема Кронекера-Капелли)

Система линейных уравнений

совместна тогда и только тагда, когда ранг матрицы А системы равен рангу ее расширенной матрицы B.

Пусть система совместна. докажем, что rang(A) = rang(B).

Для этого возьмем какое-либо решение k1, k2, … ,k n и подставие его в каждое уравнение системв.

(1)

Эту систему перепишем в виде

Следовательно, при вычислении ранга матрицы В этот столбец в соответствии со свойством 6 ранга матрицы можно из матрицы B удалить. Это означает, что rang(A) = rang(B).

Пусть rang(A) = rang(B). Докажем, что система совместима. Равенство rang(A) = rang(B) означает, что базис системы столбцов матрицы А является и базисом системы столбцов матрицы В, т.е. существует набор таких чисел k1, k2, … ,k n, что выполняется равенство (1). Это означает, что является решением рассматриваемой системы. Система совместна.

Теорема 15.2 Совместная система линейных уравнений эквивалентна любой своей базисной подсистеме.