Решение дифференциальных уравнений фурье

Теория рядов Фурье первоначально была создана для решения дифференциальных уравнений. Поэтому, неудивительно, что ряды Фурье широко используются для поиска решений как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных.

В настоящем разделе мы расмотрим приложение рядов Фурье к решению некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений, а также к решению трех наиболее популярных типов уравнений математической физики:

Сначала мы определим стационарное распределение температуры при заданных граничных условиях.
Рассмотрим уравнение (klargefrac<<<partial ^2>T>><<partial >>
ormalsize = 0.) Интегрируя его, найдем общее решение: [left( x
ight) = + x.] Коэффициенты () и () найдем из граничных условий: (
left( 0
ight) = ,) (
left( L
ight) = .) В результате получаем [
left( x
ight) = + left( < >
ight)frac.] Построим теперь решение задачи, зависящее от времени .
Введем новую переменную [yleft(
ight) = Tleft(
ight) —
left( x
ight).] Граничные условия для (yleft(
ight)) принимают вид: [yleft( <0,t>
ight) = yleft(
ight) = 0,] а начальное распределение записывается в форме [yleft(
ight) = fleft( x
ight) —
left( x
ight) = gleft( x
ight).] Принимая во внимание новые граничные условия, будет естественным искать решение в виде разложения по нечетным гармоникам. Тогда [gleft( x
ight) = sumlimits_^infty <sin frac<>> ,] где коэффициенты () находятся по формуле [ = frac<2>intlimits_0^L >dx> .] (Мы предполагаем, что эти коэффициенты известны.)

Учитывая, что (left( 0
ight) = ,) получаем решение для (
left( t
ight)) в форме [
left( t
ight) = exp left( < — frac<<pi ^2>>><<>>t>
ight).] Следовательно, окончательное решение уравнения теплопроводности выражается формулой [
ight) = left( x
ight) + sumlimits_^infty <
exp left( < — frac<<pi ^2>>><<>>t>
ight)sin frac<>> > = <+ left( < >
ight)frac
+ sumlimits_^infty <
exp left( < — frac<<pi ^2>>><<>>t>
ight)sin frac<>> .> ]

Будем искать все периодические решения задачи, в которых разделяются переменные (x) и (t,) т.е. в форме [uleft(
ight) = Xleft( x
ight) cdot Tleft( t
ight).] Тогда [ <frac<<<partial ^2>u>><<partial >> = XT»>;; < ext<и>;;frac<<<partial ^2>u>><<partial >> = X»T.> ] Подставляя это в волновое уравнение, получаем [ X»T;; ext<или>>;; <frac<> = frac<><<T>>.> ] В последней записи функция в левой части зависит только от (x,) а функция в правой части − только от (t.) Это возможно, если только обе части уравнения равны некоторой константе. Следовательно, [frac<> = frac<><<T>> = ext = alpha .] Если константа (alpha) положительная, то полагая (alpha = <lambda ^2>,) получим уравнение [T» = <lambda ^2>T] с общим решением [Tleft( t
ight) = asinh left(
ight) + bcosh left(
ight).] Такое решение не содержит периодических функций по (t.) Поэтому рассмотрим вариант, когда константа (alpha) отрицательна: (alpha = — <lambda ^2>.) В этом случае волновое уравнение расщепляется на два обыкновенных дифференциальных уравнения: [X» + <lambda ^2>X = 0,;;T» + <lambda ^2>T = 0.] Решая первое уравнение, находим [Xleft( x
ight) = cos lambda x + sinlambda x,] где () и () − постоянные интегрирования.

Учитывая граничные условия, получаем [Xleft( 0
ight) = Xleft( L
ight) = 0.] Тогда [ = 0,>;; sin lambda L = 0.> ] Полагая (
e 0) (в противном случае мы бы получили тривиальное решение (X equiv 0)), находим, что (lambda L = pi n) ((n) − целое число).

Следовательно, так называемые собственные значения равны [ <lambda _n>= frac<<pi n>>,;;n = 1,2,3, ldots ] Соответствующие им собственные функции записываются в виде [left( x
ight) = sin frac<<pi nx>>
.] При (lambda = <lambda _n>) второе уравнение имеет решение [ <= cos a<lambda _n>t + sin a<lambda _n>t > = <cos frac<> + sin frac<>.> ] Таким образом, можно записать, что [ <left(
ight) > = <sin frac<<pi nx>>
left( <cos frac<> + sinfrac<>>
ight).> ] Здесь (n) − целое число, а () и () − постоянные, зависящие от начальных условий.

Теперь мы можем построить общее решение волнового уравнения как линейную комбинацию частных решений: [
ight) = sumlimits_^infty <left(
ight)> > = <sumlimits_
^infty <sin frac<<pi nx>>left( <cos frac<> + sinfrac<>>
ight)>. > ] Предполагая, что этот ряд дифференцируемый, запишем выражение для производной: [ <frac<<partial uleft(
ight)>><<partial t>> > = <sumlimits_
^infty <sin frac<<pi nx>>left( < — frac<>sinfrac<> + frac<>cosfrac<>>
ight).> > ] Теперь из начальных условий определим постоянные () и (🙂 [
ight) = sumlimits_
^infty <sin frac<<pi nx>>> = fleft( x
ight),>;; <frac<<partial uleft(
ight)>><<partial t>> = sumlimits_
^infty <frac<>sin frac<<pi nx>>> = gleft( x
ight).> ] Видно, что функции (fleft( x
ight)) и (gleft( x
ight)) следует разложить по ортогональной системе (left< <sin largefrac<<pi nx>>

ormalsize>
ight>.) По формулам для коэффициентов Фурье получаем [ <= frac<2>
intlimits_0^L >dx> ,>;; <
= frac<2><>intlimits_0^L >dx> ,>;;
] Таким образом, решение волнового уравнения с заданными граничными и начальными условиями имеет вид [
ight) = sumlimits_
^infty <left(
ight)> > = <sumlimits_
^infty <sin frac<<pi nx>>left( <cos frac<> + sinfrac<>>
ight)>, > ] где коэффициенты () и () определяются приведенными выше формулами.

Первый член ряда (left(
ight)) называется основной частотой , остальные члены (left(
ight)) − обертонами или гармониками . Период и частота гармоники определяются формулами [ = frac<<2L>><>,;; <omega _n>= frac<>.]

Решением задачи будет функция (uleft(
ight),) зависящая от переменных (r) и (varphi.) Очевидно, (uleft(
ight),) является (2pi)-периодической функцией по (varphi.) При этом граничная функция (fleft(
ight)) преобразуется в функцию (fleft( varphi
ight),) зависящую только от переменной (varphi.)

Читайте также:  Как вернуть номер страницы в контакте

Уравнение Лапласа в полярных координатах записывается в виде [frac<<<partial ^2>u>><<partial >> + rfrac<<partial u>><<partial r>> + frac<<<partial ^2>u>><<partial <varphi ^2>>> = 0.] Будем искать решение (uleft(
ight)) в виде ряда Фурье [
ight) > = <frac<<left( r
ight)>> <2>+ sumlimits_^infty <left[ <left( r
ight)cos nvarphi + left( r
ight)sin nvarphi >
ight]> ,> ] где коэффициенты Фурье (<
left( r
ight)>) и (<left( r
ight)>) зависят от радиуса (r.)

Предполагая, что функция (uleft(
ight)) является достаточно гладкой и допускает двойное дифференцирование по (r) и (varphi,) получаем следующие выражения для производных: [frac<<partial u>><<partial r>> = frac <<<2>left( r
ight)cos nvarphi + <2>left( r
ight)>> <2>> + <sumlimits_^infty <left[ <left( <left( r
ight) + r left( r
ight) — left( r
ight)>
ight)sin nvarphi >
ight] = 0.> ] Поскольку это выражение равно нулю при всех (r) и (varphi,) то приходим к выводу, что [left( r
ight) + r
left( r
ight) — left( r
ight) = 0;; ext<для>;;n = 1,2,3, ldots ] Таким образом, мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений вместо исходного уравнения в частных производных (этот метод был предложен Жозефом Фурье в (1822)). Важно, что каждое уравнение в системе решается независимо.

Убедимся, что полученным уравнениям удовлетворяют функции вида [left( r
ight) =
left( 1
ight),;;left( r
ight) =
left( 1
ight).] Здесь постоянные (
left( 1
ight)) и (left( 1
ight)) находятся из начальных условий к полученным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Чтобы сформулировать эти начальные условия, разложим в ряд Фурье функцию (fleft( varphi
ight) = uleft( <1,varphi >
ight),) определяющую граничные условия для уравнения Лапласа в полярных координатах. В результате находим [ = <frac<<<alpha _0>>> <2>+ sumlimits_^infty <left( <<alpha _n>cos nvarphi + <eta _n>sin nvarphi >
ight)> > =
ight) > = <frac<<left( 1
ight)>> <2>+ sumlimits_
^infty <left[ <
left( 1
ight)cos nvarphi + left( 1
ight)sin nvarphi >
ight]> .> ] Приравнивая коэффициенты слева и справа при членах (<cos nvarphi >) и (<sin nvarphi >,) получаем соотношения [
left( 1
ight) = <alpha _n>,;;n = 0,1,2,3, ldots ] [left( 1
ight) = <eta_n>,;;n = 1,2,3, ldots ] Следовательно, система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет решение [
left( r
ight) = <alpha _n>,;;left( r
ight) = <eta _n>.] Тогда решение уравнения Лапласа записывается в виде [uleft(
ight) = frac<<<alpha _0>>> <2>+ sumlimits_^infty <left( <<alpha _n>cos nvarphi + <eta _n>sin nvarphi >
ight)> ,] где (<<alpha _n>>,) (<<eta_n>>) − известные числа, зависящие от граничных условий.

Полученный ответ можно упростить. Подставим явные выражения для коэффициентов (<<alpha _n>>,) (<<eta_n>>:) [
ight) > = <frac<1><pi >intlimits_< — pi >^pi <1> <2>+ sumlimits_^infty <left( <cos ntcos nvarphi + sin ntsin nvarphi >
ight)> >
ight]dt> .> ] Заметим, что [cos ntcos nvarphi + sin ntsin nvarphi = cos nleft(
ight).] Поэтому [uleft(
ight) = frac<1><<2pi >>intlimits_< — pi >^pi
<1 + 2sumlimits_^infty <cos nleft(
ight)> >
ight]dt> .] Используя формулу (cos x = largefrac<<> + >>><2>
ormalsize,) можно показать, что выражение в квадратных скобках равно сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии: [ <1 + 2sumlimits_^infty <cos nleft(

ight)> > = <frac<<1 — >> <<1 — 2rcos left(

ight) + >>.> ] Тогда решение будет определяться формулой [uleft(
ight) = frac<1><<2pi >>intlimits_< — pi >^pi
<1 - >> <<1 — 2rcos left(
ight) + >>dt> .] Полученное выражение называется интегралом Пуассона для единичного круга.

(Дифференциальное уравнение Фурье)

Если поместить тело, например, бесконечную пластинку толщиной δ и начальной температурой T в горячую среду с температурой Tf (рис. 1.1), то пластинка, получая энергию от горячей среды, будет нагреваться, и ее температура изменяется с течением времени в каждой точке.

Рис. 2.1. Нагрев пластины в среде с температурой Tf

Температурное поле, т.е. распределение температур в пространстве и во времени, находят решением дифференциального уравнения (ДУ) теплопроводности, которое в 1814 году вывел французский ученый Фурье и поэтому это уравнение носит его имя. Вывод ДУ теплопроводности основан на законе сохранения энергии и использует закон Фурье. Уравнение Фурье моделирует процессы, которые в процессе теплопроводности протекают в каждом элементарном объеме тела:

1) поглощение тепловой энергии при нагреве или выделение при охлаждении;

2) прохождение теплоты через элементарный объем транзитом;

3) выделение или поглощение теплоты за счет действия внутренних источников или стоков теплоты мощностью qv.

В векторной форме записи дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид:

,

где – удельная объемная теплоемкость, Дж/(м 3 ×К);– плотность, кг/м 3 ; с – удельная массовая теплоемкость, Дж/(кг×К).

Напомним, что для твёрдых тел .

Решая это уравнение, мы получим температурное поле: Т(хi, t). Т.о. дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает связь между пространственным и временным изменениями температуры.

Вид формул для операторов дивергенции (div) и градиента (grad) зависят от выбора системы координат. Например, в декартовой системе координат ДУ теплопроводности примет вид:

,

или принимая допущение о независимости физических свойств вещества от температуры <>

,

где – коэффициент температуропроводности, м 2 /с.

В нашем кратком курсе ТМО будем решать дифференциальное уравнение Фурье для тел простейшей формы (бесконечная пластина, бесконечный цилиндр и шар или сфера) с постоянными физическими коэффициентами:

Читайте также:  Файл доступен только для чтения как изменить

,

где x1 – первая координата в ортогональной системе координат: x1 = xв декартовой системе координат,x1= r в цилиндрической и сферической системах координат; k = 1, 2 или 3 – коэффициент формы тела: k = 1 – бесконечная пластина; k = 2 – бесконечный цилиндр; k = 3 – шар.

При отсутствии в системе внутренних источниковстоков теплоты (qv = 0) дифференциальные уравнения Фурье для тел простейшей формы записываются следующим образом:

k = 1 :; k = 2 : ;k = 3 : .

При неизменных условиях теплообмена (постоянных температурах флюида, омывающих тело с разных сторон, и постоянных коэффициентах теплоотдачи) на границах тела его температурное поле с некоторого момента времени перестает изменяться во времени и наступает стационарный режим теплопроводности, который для тел простейшей формы описывается уравнением Пуассона при действии внутренних источников теплоты

,

или уравнением Лапласа, если qv =0

.

В результате решения одномерного дифференциального уравнения для стационарного процесса теплопроводности находят температурное поле в виде T(x1) или в явном виде T(x) – в декартовой системе координат и T(r) – в цилиндрической и сферической системах координат.

§4. Условия однозначности,

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9126 — | 7291 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Способов решения дифференциального уравнения в частных производных параболического типа довольно много. Продемонстрируемосо- бенности некоторых из них на конкретных примерах. Для сравнительного анализа эффективности различных математических подходов решим одну и ту же задачу тремя методами: методом Фурье, Лапласа и Грина.

Преобразование Фурье

В начале 19века Ж.Фурье предложил метод решения дифференциальных уравнений, основанный на представлении периодических и гладких непериодических функций при помощи тригонометрических рядов. Ряд Фурье— представление произвольной функции/с периодом Т в виде ряда

где Акамплитуда к-го гармонического колебания, 2.71— = к (О — круговая

частота гармонического колебания, вк— начальная фаза к-го колебания, fk—k-я комплексная амплитуда.

Тригонометрический ряд Фурье функции / € Z,2([ — функциональ

Числа а<>, а" и Ьп (п=1,2. п) называются коэффициентами Фурье функции/. Теорема Фурье (комплексный интеграл Фурье)—функция f(x) представима в виде интеграла:

Преобразование Фурье (?) — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разньши частотами. Преобразование Фурье функции / вещественной переменной является интегралом и задаётся формулой:

Если f(x) интегрируема, то к ней можно применить обратное преобразование Фурье, которое даёт исходную функцию.

Формула обращения Ферми:

На преобразовании Фурье базируется важный метод решения уравнений диффузии —метод разделения переменных.

Метод разделения переменных (Метод Фурье)— метод отыскания частных решений дифференциальных уравнений: путём специальных замен исходное уравнениеп переменных сводится к решению отдельных уравнений по меньшему числу переменных, в том числе к решению празличных уравнений для каждой перемен >юй.Методом Фурье решают линейные однородные уравнения.

Разделение переменных эффективно при решении дифференциальных уравнений параболического типа с постоянным коэффициентом диффузии при произвольном начальном распределении концентрации диффузанта по объёму образца.

Если рассматривается функция двутс переменных u(x,t), то метод Фурье включает следующие стадии:

  • — подстановка в исходное уравнение u(x,t)=X(x) T(t);
  • —получение двух уравнений относительно функций Х(х) и ДО;
  • — решение задачи Штурма-Лиувилля для функции Х(д:), нахождение собственных значений >.„и собственных функций^;
  • —нахождение для каждого функции Tn(t).

Решение уравнения имеет вид:

где коэффициенты С,определяются из начальных условий.

Задача Штурма-Лиувилля— задача о собственных значениях и собственных функциях. Для краевой задачи

Х(х)"+Л*(Х(х))=о; Х(о)=Х(1)=о; а Условие I-I. Концентрации на граничных поверхностях тождественно равны нулю:

Условие П-П. Так как диффузионный поток на двух граничных поверхностях равен нулю, градиент на этих поверхностях также равен нулю, производная от С на этих поверхностях равна нулю независимо от величины f, т.е. что ряд С содержит только косинусы (поскольку иначе градиент в точке л:=о не будет равен нулю) и все коэффициенты А в Ур.7 равны нулю. С другой стороны, значения sinctf^ Н равны нулю, что приводит к:

Условие II-I. Диффузионный поток на первой граничной поверхности равен нулю. Функция С содержит только косинусы. На второй граничной поверхности концентрация равна нулю, следовательно:

То же условие будет справедливо и для случая I—II.

Таким же образом можно получить значения в Ур.6.

Для определения амплитуд (коэффициентов ат) воспользуемся начальным условием. Для расчёта коэффициентов а или эквивалентных коэффициентов Ат и Вт используется метод Фурье. Начальное распределение концентрации в пластине задаётся в виде C()=fix).

Изменение концентрационного профиля во времени:

Если в момент времени t = О С($ = f (х) , то

Табл. 1 . Результаты согласованных условий I—II рода_

Индексы тип указывают на запись ряда, что позволяет опустить знак суммы.

Теперь найдём величину определенного интеграла:

Читайте также:  Heco celan gt 302 отзывы

вычисляемого от начала до конца линии диффузионного тока с такой точностью, с какой желательно получить коэффициент аш. Здесь:

Умножим правую и левую части Ур.9 на соъ(сопх + (рп) и возьмём интеграл (применим теорему Фурье):

где изменяется только п от нуля до бесконечности.

Условия (8) делают систему функций COs(rtK + ) системой ортогональных функций на отрезке (о,Я), т.е. при т:^ = 0 •

При т = п, напротив:

Эти выражения позволяют рассчитать ат, если известен

Согласно (и) имеем:

Расчёт коэффициентов а требует предосторожности в случае стенки с граничными условиями Н-Н (отражающие поверхности), когда функция С содержит только косинусы ( Пример 1. Задача на дегазацию пластины с произвольным начальным распределением концентрации (десорбция). Концентрация на поверхностях пластины поддерживается равной нулю в течение всего эксперимента, т.е. имеем условие I-I.

При больших временах ряд быстро сходится и можно ограничиться одним первым членом.

Количество диффузанта оставшееся в образце ко времени t: разца одинаковы.

Поток диффузанта, выходящий из одной из плоскостей пластины:

Если концентрация диффузанта на ограничивающих поверхностях

Пример 2. Диффузия в сфере радиуса R с равномерным начальным распределением концентрации C(o,f)=Qo) и концентрацией на поверхности С(Д,0=Со.

Распределение концентрации диффузанта:

где г — текущая координата, г — радиус шарика, Ап = 2*(—1)” +| ,

Пример з. Диффузия из бесконечно тонкого слоя в ограниченное твёрдое тело. Рассмотрим пластинку, в центре которой (в плоскости х=Н/2) расположен бесконечно тонкий источник диффундирующего вещества.

Рис. 1. Диффузия из бесконечно тонкого слоя в теле конечных размеров со связывающими границами: tl Пример 4. Диффузия из постоянного источника в образец (сорбция). Рассмотрим поглощение газа пластинкой толщиной Я.

Рис. 2. Диффузия из постоянного источника в тело конечных размеров: начальное условие С(л:,о); граничные условия: C(0,t)=C(H,t)=Co.

Будем искать решение задачи в виде

Изменение распределение концентрации диффузанта по толщине пластины описывается формулой:

Решение для распределения концентрации имеет вид:

Количество вещества поглощенное пластиной ко времени t:

Пример 5 . Диффузия в тело неограниченного размера из бесконечно тонкого импульсного источника.

Напомним, что для ограниченного тела ряд Фурье: а для бесконечного тела:

Воспользуемся интегральной теоремой Фурье, т.е. тем фактом, что практически любую функцию можно разложить на систему ортогональных функций синусов и косинусов:

Общее решение для бесконечного твёрдого тела:

Рис. з. Диффузия из импульсного бесконечно тонкого источника в бесконечную среду; значения Dt: 1/16 (1), 0,5 (2) и 1 (3).

Если бесконечно тонкий источник расположен в точке начал работать в момент времени т и проработал бесконечно малое время (бесконечно тонкий импульсный источник), количество попавшего в среду диффузанта М, то импульсная функция имеет вид:

М(о) — количество диффузанта, находящееся в бесконечно тонком слое при времени t= о [г/см 2 ].

Функция ехр(-д: 2 /4Dt) — чётная, поэтому распределения концентрации, создаваемые бесконечно тонким слоем в обоих полупространствах, симметричны относительно начала координат или середины слоя. Со временем начальное распределение постепенно расплывается, оставаясь симметричным относительно точки л:=о. с м о уменьшается обратно

пропорционально корню квадратному из времени.

В трёхмерном случае:

Пример 6. Диффузия из слоя конечной толщины в бесконечную среду. Пусть в начальный момент времени концентрация примеси распределена равномерно в слое толщиной h.

где 0 — функция ошибок. Её основные свойства: erf (-у) = -erf у; erf0 = 0; erf’ж = 1

Рис. 4. Диффузия из слоя конечной толщины в неограниченное тело; значения (Dt/h-у/ 2 : о (1), 0,25(2), 0,5(3), 1(4), 2(5).

Дополнительная функция ошибок:

Интеграл дополнительной функции ошибок

Высота максимума на кривой распределения концентрации уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из времени. При диффузии из слоя конечной толщины наблюдается тот же эффект, но он становится заметным через значительно большее время. Плоскость, в которой концентрация в е раз меньше, чем в плоскости дг=о, А’, = 2ylDt , т.е. расстояние между этими плоскостями изменяется пропорционально корню квадратному из времени.

Пример 7. Диффузия в полуограниченное тело из бесконечнотонкого источника, расположенного при координате

Воспользуемся решением для бесконечного тела:

Разобьём бесконечное тело на два полубесконечных, так что:

Тогда, распределение концентрации диффузанта:

Это выражение представляет собой общее решение диффузионного уравнения для полуограниченного тела. Функция Ci(-?,o) — неизвестна, ее можно определить из граничных условий.

Пример 8. Диффузия в полуограниченном теле со связывающей границей: односторонняя десорбция из полуограниченного твёрдого тела. Начальное условие: С=С(я:,о).

Граничное условие: C(o,f)=o при

Общее решение имеет вид:

А) Частный случай начального равномерного распределения С(х,о)=С().

Рис. 5. Диффузия из полуограниченного тела со связывающей границей. Распределение концентрации:

Полученное решение описывает распределение концентрации в процессе односторонней дегазации полуограниченного твёрдого тела.

Б) Частный случай диффузии из постоянного источника (сорбция):

Рис. 6. Диффузия из постоянного источника в полуограниченное тело.

Общее количество диффузанта, поступившее в образец ко времени t: