Решение матриц теоремой лапласа

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(*)

(разложение по элементам i-й строки);

(**)

(разложение по элементам j-го столбца).

Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим его вначале по элементам первой строки

Что совпадает с определением определителя матрицы третьего порядка.

Пример 1. Вычислить определитель третьего порядка

используя его разложение по элементам первой строки.

Решение. Находим алгебраические дополнения элементов первой строки:

Теперь по теореме Лапласа найдем определитель, используя формулу (*)

Пример 2. Вычислить определитель предыдущего примера, используя его разложение по элементам второго столбца.

Решение. Находим алгебраические дополнения элементов второго столбца:

Теперь по формуле (**) найдем определитель матрицы

Значения первого и второго примеров совпали, что говорит о том, что можно выбирать разложение по любой строке или любому столбцу.

Пример 3. Вычислить определитель четвертого порядка треугольной матрицы:

Решение: Выполним разложение по первому столбцу:

Значение теоремы Лапласа состоит в том, что она позволяет свести вычисление определителей n-го порядка к вычислению определителя меньшего порядка, то есть (n-1)-го порядка.

Для каждого числа существует обратное числотакое, что произведение. Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

.

Только квадратная матрица может иметь обратную, однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Определение. Матрица являетсяневырожденной (неособенной), если , в противном случае приматрицаназываетсявырожденной (особенной).

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрицасуществует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной (неособенной) и вычисляется по формуле

,

где — присоединенная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы, т.е..

Необходимость. Пусть матрица имеет обратную, т.е.. По свойству 10 определителей имеем:, т.е.и.

Достаточность. Пусть . Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка, называемую присоединенной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы, транспонированной к. Тогда элементы произведения матрицопределяются по правилу умножения матриц. Поэтому матрица В является диагональной, элементы ее главной диагонали равны определителю исходной матрицы. А произведениенаравно той же матрице В:.

Читайте также:  Как подключить беспроводную мышь если потерял адаптер

Единственность обратной матрицы. Предположим, что существуют еще матрицы итакие, чтои, где матрицаполучена по формулеи выполняются равенстваи. Тогда, умножая наслева первое из них, получаем:, откуда, т.е.. Аналогично, умножая второе равенство насправа, получаем. Единственность доказана.

Вычисление определителя, приведение к треугольному виду.

Св-во10.Если все элементы определителя расположенные по одну сторону от главной диагонали = 0, то этот определитель = произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Запись такого вида наз. Треугольным видом.

Опр1.Минором некоторого элемента с индексом n-ого порядка наз. Определитель n-1 порядка, полученного из исходного путем вычеркивания строки и столбца на пересечении которых находится выбранный элемент ( )

Опр2. Алгебраическим дополнением элемента определителя наз. Его минор взятый со знаком (, где i-№ стороки, а j-№столбца()

Правило Лапласа для определителей.

∆=равен сумме произведений элементов некоторой строки(столбца) на их алгебраические дополнения по n-й строке

∆=

Прим.∆==1(=35-12-2(15-8)+2(9-14)=-1

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8913 — | 7222 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

Задание. Вычислить определитель второго порядка $left| egin <11>& <-2>\ <7>& <5>end
ight|$

Решение. $left| egin <11>& <-2>\ <7>& <5>end
ight|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

Задание. Вычислить определитель $left| egin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>end
ight|$ методом треугольников.

Решение. $left| egin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>end
ight|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$

$$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$$

Читайте также:  Dir 620 горит только питание

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

Задание. Вычислить определитель $left| egin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>end
ight|$ с помощью правила Саррюса.

Решение.

$$+(-1) cdot 4 cdot(-2)-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot 3 cdot(-2)-3 cdot 4 cdot(-2)=54$$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $left| egin <1>& <2>& <3>\ <4>& <5>& <6>\ <7>& <8>& <9>end
ight|$

Решение. $left| egin <1>& <2>& <3>\ <4>& <5>& <6>\ <7>& <8>& <9>end
ight| leftarrow=a_ <11>cdot A_<11>+a_ <12>cdot A_<12>+a_ <13>cdot A_<13>=$

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Задание. Вычислить определитель $left| egin <1>& <2>& <3>\ <4>& <5>& <6>\ <7>& <8>& <9>end
ight|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Задание. Вычислить определитель $left| egin <9>& <8>& <7>& <6>\ <5>& <4>& <3>& <2>\ <1>& <0>& <1>& <2>\ <3>& <4>& <5>& <6>end
ight|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:

$$=4 cdot(2 cdot 8-4 cdot 4)=0$$

Замечание

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Читайте также:  Как найти телефон в домашних условиях

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Задание. Вычислить определитель $Delta=left| egin <-2>& <1>& <3>& <2>\ <3>& <0>& <-1>& <2>\ <-5>& <2>& <3>& <0>\ <4>& <-1>& <2>& <-3>end
ight|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_<11>$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_<11>$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

Ответ. $Delta=-80$

Теорема Лапласа

Пусть $Delta$ — определитель $n$-го порядка. Выберем в нем произвольные $k$ строк (или столбцов), причем $k leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех миноров $k$-го порядка, которые содержатся в выбранных $k$ строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель $left| egin <2>& <3>& <0>& <4>& <5>\ <0>& <1>& <0>& <-1>& <2>\ <3>& <2>& <1>& <0>& <1>\ <0>& <4>& <0>& <-5>& <0>\ <1>& <1>& <2>& <-2>& <1>end
ight|$

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки — вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):