Решение неравенств комплексных чисел

В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ mathbb $.

Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица $ i = sqrt <-1>$, числа $ a,b in mathbb $ вещественные.

Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ mathbb subset mathbb $. К слову говоря также возможно, что $ a = 0 $.

Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im(z) = b $, а действительную $ Re(z) = a $.

Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ overline = a-ib $, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

  1. Алгебраическая $ z = a+ib $
  2. Показательная $ z = |z|e^ $
  3. Тригонометрическая $ z = |z|cdot(cos(varphi)+isin(varphi)) $

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Видим, что $ a,b in mathbb $ расположены на соответствующих осях плоскости.

Комплексное число $ z = a+ib $ представляется в виде вектора $ overline $.

Аргумент обозначается $ varphi $.

Модуль $ |z| $ равняется длине вектора $ overline $ и находится по формуле $ |z| = sqrt $

Аргумент комплексного числа $ varphi $ нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

$$ z_1 + z_2 = (3+i) + (5-2i) = (3+5)+(i-2i) = 8 — i $$

Аналогично выполним вычитание чисел:

$$ z_1 — z_2 = (3+i) — (5-2i) = (3-5)+(i+2i) = -2 + 3i $$

Пример 2
Решение
Ответ
$$ z_1 + z_2 = 8 — i; z_1 — z_2 = -2 + 3i $$
Читайте также:  Как отследить по номеру телефона местонахождение билайн

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

$$ z_1 cdot z_2 = (3+i) cdot (5-2i) = $$

Просто на просто раскроем скобки и произведем приведение подобных слагаемых, так же учтем, что $ i^2 = -1 $:

$$ = 15 — 6i + 5i -2i^2 = 15 — i — 2cdot(-1) = $$

$$ = 15 — i + 2 = 17 — i $$

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Пример 3
Решение
Ответ
$$ z_1 cdot z_2 = 17 — i; frac = frac<13> <29>+ frac<11><29>i $$

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

$$ z^2 = (3+3i)^2 = (3+3i)cdot (3+3i) = $$

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

$$ =9 + 9i + 3icdot 3 + 9i^2 = 9 + 18i — 9 = 18i $$

Получили ответ, что $$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ varphi = arctg frac<3> <3>= arctg(1) = frac<pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Возводим в степень $ n = 7 $:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

$$ = 3^7 sqrt<2>^6 (1-i) = 3^7 cdot 8(1-i) = $$

$$ = 2187 cdot 8 (1-i) = 17496(1-i) $$

$$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$ $$ z^7 = 17496(1-i) $$

Пример 4
Возвести комплексное число $ z = 3+3i $ в степень: a) $ n=2 $ б) $ n=7 $
Решение
Ответ
Читайте также:  Css скрыть текст ссылки

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

$$ varphi = arctg frac<0> <-1>+pi = arctg 0 + pi = pi $$

Получаем: $$ z = (cos pi + isin pi) $$

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Так как степень $ n = 3 $, то по формуле $ k = 0,1,2 $:

Пример 5
Извлечь корень $ sqrt[3] <-1>$ над множеством $ mathbb $
Решение
Ответ

Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант $$ D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4cdot 1 cdot 2 = 4-8 = -4 $$

Рассмотрим задачи на нахождение областей в комплексной плоскости, заданных неравенствами. Чтобы решить данные неравенства с комплексными числами, вначале необходимо перейти к декартовым координатам, т.е. перейти к действительному представлению.

Чтобы представить комплексное число в действительной форме, нужно заменить комплексную переменную z действительными переменными x и y, а именно z = x + iy, где
x = Re(z), y = Im(z).

Пример 1. Найти на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству

задан 7 Апр ’15 19:37

Intense
121 ● 1 ● 12
83&#037 принятых

1 ответ

Из общих соображений можно заметить, что это будет внутренняя часть эллипса. Если неравенство заменить на равенство, то уравнение имеет такой вид: сумма расстояний от точки $%z$% комплексной плоскости до точек $%5$% и $%9$% равна 8. Поскольку 8 больше, чем расстояние между точками $%5$% и $%9$%, это даёт эллипс. А при нестрогом неравенстве оказывается, что нам подходят точки на самом эллипсе и внутри него.

Аналитический вывод таков: полагаем $%z=x+iy$%, где $%x,yinmathbb R$%. Записываем неравенство в таком виде: $%sqrt<(x-5)^2+y^2>+sqrt<(x-9)^2+y^2>le8$%. Обе части неотрицательны; возводим их в квадрат, что даёт равносильное неравенство: $%(x-5)^2+y^2+(x-9)^2+y^2+2sqrt<(x-5)^2+y^2>sqrt<(x-9)^2+y^2>le64$%. Упрощаем: $%sqrt<(x-5)^2+y^2>sqrt<(x-9)^2+y^2>le14x-x^2-y^2-21$%. Возводим в квадрат второй раз, с учётом того, что правая часть неотрицательна, то есть $%x^2+y^2-14x-21le0$%. После тождественных преобразований и упрощений получится такое неравенство: $%3x^2+4y^2-42x+99le0$%, которое после выделения полного квадрата принимает вид $%3(x-7)^2+(2y)^2le48$%. Из этого уравнения ясно, что получается эллипс и его внутренняя часть. Неравенство $%(x-7)^2+y^2le70$%, которое мы учитывали выше, здесь автоматически выполнено.

отвечен 7 Апр ’15 20:24

falcao
243k ● 1 ● 34 ● 48

@falcao В уравнении эллипса $%3*(x-7) + (2y)^2 = 48$%, центр эллипса в точке $%(7;0)$%, а какие у него фокусы? Как по такому виду определить фокусы эллипса?

@Leva319: фокусы уже известны — это 5 и 9. Именно до них сумма расстояний постоянна по условию задачи.

@falcao Тогда можно спросить, что дают коэффициенты при (x-7)^2 и y^2 ? За что они отвечают?

@falcao а также можно ли по этому уравнению узнать длину большой и малой осей эллипса? Как это сделать?

@Leva319: грубо говоря, они отвечают за размеры эллипса. По ним можно определить, в каких точках эллипс пересекает оси, и в какой мере он "вытянут". От центра эллипса, точки (7,0) надо отступить на 4 влево и вправо, а также на $%2sqrt3$% вверх и вниз. Это будут "крайние" точки, и по ним легко рисуется овальная фигура. То есть в уравнении полагаем y=0, а также x=7, и из этого извлекаем информацию.

Длины полуосей как раз и будут равны указанным выше числам.

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Пример 6
Решить квадратное уравнение $ x^2 + 2x + 2 = 0 $ над $ mathbb $
Решение