Решение системы дифференциальных уравнений матричным методом

Матричная запись системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) с постоянными коэффициентами

Линейную однородную СОДУ с постоянными коэффициентами $left<egin <frac<1>> =a_ <11>cdot y_ <1>+a_ <12>cdot y_ <2>+ldots +a_ <1n>cdot y_ > \ <frac<2>> =a_ <21>cdot y_ <1>+a_ <22>cdot y_ <2>+ldots +a_ <2n>cdot y_ > \ <ldots >\ <frac> =a_ cdot y_ <1>+a_ cdot y_ <2>+ldots +a_ cdot y_ > end
ight. $,

где $y_ <1>left(x
ight),; y_ <2>left(x
ight),; ldots ,; y_ left(x
ight)$ — искомые функции независимой переменной $x$, коэффициенты $a_ ,; 1le j,kle n$ — заданные действительные числа представим в матричной записи:

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Теперь на основе правила умножения матриц данную СОДУ можно записать в виде матричного уравнения $frac =Acdot Y$.

Общий метод решения СОДУ с постоянными коэффициентами

Решение СОДУ отыскивается в следующем виде: $y_ <1>=alpha _ <1>cdot e^ $, $y_ <2>=alpha _ <2>cdot e^ $, dots , $y_ =alpha _ cdot e^ $. В матричной форме: $Y=left(egin <1>> \ <2>> \ <ldots >\ > end
ight)=e^ cdot left(egin
<alpha _<1>> \ <alpha _<2>> \ <ldots >\ <alpha _
> end
ight)$.

Теперь матричному уравнению данной СОДУ можно придать вид:

Полученное уравнение можно представить так:

Последнее равенство показывает, что вектор $alpha $ с помощью матрицы $A$ преобразуется в параллельный ему вектор $kcdot alpha $. Это значит, что вектор $alpha $ является собственным вектором матрицы $A$, соответствующий собственному значению $k$.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Это уравнение называется характеристическим.

Одно из значений в этой матрице выбирают произвольно.

Окончательно, решение данной системы в матричной форме записывается следующим образом:

где $C_ $ — произвольные постоянные.

Записываем матрицу системы: $A=left(egin <5>& <4>\ <4>& <5>end
ight)$.

Получаем характеристическое уравнение:

Корни характеристического уравнения: $k_ <1>=1$, $k_ <2>=9$.

Получаем решение СОДУ в матричной форме:

В обычной форме решение СОДУ имеет вид: $left<egin <1>=C_ <1>cdot e^ <1cdot x>+C_ <2>cdot e^ <9cdot x>> \ <2>=-C_ <1>cdot e^ <1cdot x>+C_ <2>cdot e^ <9cdot x>> end
ight. $.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

2. Постановка задачи

6. Построение общего решения матричным методом

7. Задача Коши для матричного метода

Рассмотрим систему линейных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:

где коэффициенты аij, i=1,2,…. n, к=1,2,…,n, являются постоянными величинами;

yi=yi(t), i=1,2,…,n — неизвестные функции переменной t.

Если все bi(t) (i=1,2,…,n) положить равным нулю (bi(t)=0), то получится однородная система, соответствующая неоднородной системе (1).

Читайте также:  Broadcom corporation что это

Обозначая матрицу системы через А(х), а вектор

Всякая совокупность n функций

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a;b), называется решением системы (1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества:

справедливые при всех значениях x из интервала (a, b). Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной.

2. Постановка задачи

Цель работы: исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей:

1. Найти собственные числа и построить фундаментальную систему решений (ФСР).

2. Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера.

3. Найти приближенное решение в виде матричного ряда.

4. Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость Жордановой формы матрицы А от ее собственных чисел.

5. Решить задачу Коши.

Вектор начальных условий: [1, 2, 3, 4]

Однородной линейной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида:

Если в матрице системы

Фундаментальной системой решений однородной линейной системы уравнений называется базис линейного пространства решений a, т.е. n линейно независимых решений этой системы.

Для построения фундаментальной системы решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического полинома, так как в зависимости от их вида (характеристические числа могут быть действительными разными, кратными, комплексными) строится фундаментальная система решений.

Для того чтобы эта система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (вронскиан) был равен нулю:

Из этого уравнения степени n определяется значение k, при которых система имеет нетривиальные решения. Уравнение (4) называется характеристическим.

Запишем характеристический полином, для этого воспользуемся функцией CHARPOLY

Для нахождения собственных чисел воспользуемся функцией SOLVE(U, l), которая возвращает характеристические числа матрицы А в вектор l. Получим:

Получилось два действительно корня

Матрицу y(x), столбцами которой являются решения, образующие фундаментальную систему, называют фундаментальной матрицей.

И общее решение системы будет выглядеть следующим образом:

Найдем решение данной системы с помощью метода Эйлера.

Метод Эйлера заключается в следующем.

Решение системы (1) находится в виде:

Функция (5) является решением системы (1), если

Для случая кратных корней решение системы принимает вид

где Pi(x)-полиномы степени не выше, чем (к-1), имеющих в совокупности к произвольных коэффициентов. Так что среди коэффициентов этих полиномов к коэффициентов являются произвольными, а оставшиеся к·n-k выражаются через них. Для отыскания коэффициентов полиномов подставим решение (6) в исходную систему уравнений, приравняем коэффициенты при одинаковых функциях. Решим систему по отношению к (k·n-k) коэффициентов. Получим выражение всех коэффициентов через свободные.

Читайте также:  Evroopt by личный кабинет начисление кодов

Если для кратного собственного значения

Если для собственного значения

Чтобы найти векторы

Для данного задания были найдены следующие собственные значения:

Построили фундаментальную систему решений:

Найдем 1 строку фундаментальной матрицы решений для характеристического числа

Рассмотрим квадратную матрицу (A) размером (n imes n,) элементы которой могут быть как действительными, так и комплексными числами. Поскольку матрица (A) квадратная, то для нее определена операция возведения в степень, т.е. мы можем вычислить матрицы [ <= I,;; = A,>;; <= A cdot A,>;; <= cdot A,; ldots ,>; <= underbrace _ ext<к раз>,> ] где через (I) обозначена единичная матрица порядка (n.)

Составим бесконечный матричный степенной ряд [I + frac<<1!>>A + frac<<>><<2!>> + frac<<>><<3!>> + cdots + frac<<>><> + cdots ] Сумма данного бесконечного ряда называется матричной экспонентой и обозначается как (>:) [> = sumlimits_^infty <frac<<>><>> .] Этот ряд является абсолютно сходящимся.

В предельном случае, когда матрица состоит из одного числа (a,) т.е. имеет размер (1 imes 1,) приведенная формула превращается в известную формулу разложения экспоненциальной функции (>) в ряд Маклорена : [ <> = 1 + at + frac<<>><<2!>> + frac<<>><<3!>> + cdots > = <sumlimits_^infty <frac<<>><>> .> ] Матричная экспонента обладает следующими основными свойствами:

Если (A) − нулевая матрица, то (> = = I;)

Если (A = I) ((I) − единичная матрица), то (> = I;)

Если для (A) существует обратная матрица (>,) то (> = I;)

(>> =
ight)A>>,) где (m, n) − произвольные действительные или комплексные числа;

Производная матричной экспоненты выражается формулой [frac<

>left( <>>
ight) = A
>.]

Пусть (H) − невырожденное линейное преобразование. Если (A = HM>,) то (> = H>>.)

Матричная экспонента может успешно использоваться для решения систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим систему линейных однородных уравнений, которая в матричной форме записывается в виде [mathbf‘left( t
ight) = Amathbf
left( t
ight).] Общее решение такой системы представляется через матричную экспоненту в виде [mathbf
left( t
ight) = >mathbf,] где (mathbf = <left( <,, ldots ,>
ight)^T>) − произвольный (n)-мерный вектор. Символ (^T) обозначает операцию транспонирования. В этой формуле мы не можем записать вектор (mathbf
) перед матричной экспонентой, поскольку произведение матриц (mathop <mathbf>limits_ <left[
ight]> mathop <
>>limits_ <left[
ight]> ) не определено.

Для задачи с начальными условиями (задачи Коши) компоненты вектора (mathbf) выражаются через начальные условия. В этом случае решение однородной системы записывается в виде [mathbfleft( t
ight) = ><mathbf
_0>,;; ext<где>;;<mathbf_0> = mathbfleft( >
ight).] Таким образом, решение однородной системы уравнений становится известным, если вычислена соответствующая матричная экспонента. Для ее вычисления можно воспользоваться бесконечным рядом, который содержится в определении матричной экспоненты. Однако часто это позволяет найти матричную экспоненту лишь приближенно. Для решения задачи можно использовать также алгебраический способ, основанный на последнем свойстве из перечисленных выше. Рассмотрим этот способ и общий ход решения более подробно.

Читайте также:  Валютная карта втб условия

Сначала находим собственные значения (<lambda _i>) матрицы (линейного оператора) (A;)

Вычисляем собственные и (в случае кратных собственных значений) присоединенные векторы;

Из полученных собственных и присоединенных векторов составляем невырожденную матрицу линейного преобразования (H.) Вычисляем соответствующую обратную матрицу (>);

Находим нормальную жорданову форму J для заданной матрицы (A,) используя формулу [J = >AH.] Примечание: В процессе нахождения собственных и присоединенных векторов часто становится ясной структура каждой жордановой клетки . Это позволяет сразу записать жорданову форму без вычисления по указанной формуле.

Зная жорданову форму (J,) cоставляем матрицу (>.) Соответствующие формулы для такого преобразования выводятся из определения матричной экспоненты. Для некоторых простых жордановых форм матрица (>) имеет вид, приведенный в таблице:

( ext<Жорданова форма >J) ( ext <Матрица >>)
(left( <egin<*<20>> color<<lambda _1>>&0\ 0&color<<lambda _2>> end>
ight))
(left( <egin<*<20>> <t>>>&0\ 0&<t>>> end>
ight))
(left( <egin<*<20>> color<<lambda _1>>&color1\ color0&color<<lambda _1>> end>
ight))
(left( <egin<*<20>> <t>>>&t>>>\ 0&<t>>> end>
ight) = t>>left( <egin
<*<20>> 1&t\ 0&1 end>
ight))
(left( <egin<*<20>> color<<lambda _1>>&0&0\ 0&color<<lambda _2>>&0\ 0&0&color<<lambda _3>> end>
ight))
(left( <egin<*<20>> <t>>>&0&0\ 0&<t>>>&0\ 0&0&<t>>> end>
ight))
(left( <egin<*<20>> color<<lambda _1>>&color1&color0\ color0&color<<lambda _1>>&color1\ color0&color0&color<<lambda _1>> end>
ight))
(left( <egin<*<20>> <t>>>&t>>>&<frac<<>><2>t>>>\ 0&<t>>>&t>>>\ 0&0&<t>>> end>
ight) = t>>left( <egin
<*<20>> 1&t&<frac<<>><2>>\ 0&1&t\ 0&0&1 end>
ight))

Вычисляем матричную экспоненту (>) по формуле [> = H>>.]

Записываем общее решение системы, которое имеет следующий вид: [mathbfleft( t
ight) = >mathbf.] В случае систем дифференциальных уравнений (2)-го порядка общее решение выражается формулой [mathbf
left( t
ight) = left( <egin<*<20>> x\ y end>
ight) = >left( <egin
<*<20>> <>\ <> end>
ight),] где (,) − произвольные постоянные.