Решение уравнений с помощью схемы горнера

Схема Горнера – способ деления многочлена

на бином $x-a$. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число $a$, взятое из бинома $x-a$:

После деления многочлена n-ой степени на бином $x-a$, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна $n-1$. Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать на примерах.

Разделить $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$, используя схему Горнера.

Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$, расположенные по убыванию степеней переменной $x$. Заметьте, что данный многочлен не содержит $x$ в первой степени, т.е. коэффициент перед $x$ в первой степени равен 0. Так как мы делим на $x-1$, то во второй строке запишем единицу:

Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число $5$, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:

Следующую ячейку заполним по такому принципу: $1cdot 5+5=10$:

Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: $1cdot 10+1=11$:

Для пятой ячейки получим: $1cdot 11+0=11$:

И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: $1cdot 11+(-11)=0$:

Задача решена, осталось только записать ответ:

Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. Естественно, что так как степень исходного многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ равнялась четырём, то степень полученного многочлена $5x^3+10x^2+11x+11$ на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. В нашем случае остаток равен нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ равно нулю.

Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ равно нулю, то единица является корнем многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$.

Разделить многочлен $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ по схеме Горнера.

Сразу оговорим, что выражение $x+3$ нужно представить в форме $x-(-3)$. В схеме Горнера будет учавствовать именно $-3$. Так как степень исходного многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ равна четырём, то в результате деления получим многочлен третьей степени:

Полученный результат означает, что

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^3+4x-17)+4$$

В этой ситуации остаток от деления $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ равна $4$. Или, что то самое, значение многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ при $x=-3$ равно $4$. Кстати, это несложно перепроверить непосредственной подстановкой $x=-3$ в заданный многочлен:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 cdot (-3)^3-5 cdot (-3)-47=4.$$

Т.е. схему Горнера можно использовать, если необходимо найти значение многочлена при заданном значении переменной. Если наша цель – найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз подряд, – до тех пор, пока мы не исчерпаем все корни, как рассмотрено в примере №3.

Читайте также:  Как восстановить историю в ватсапе на айфоне

Найти все целочисленные корни многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$, используя схему Горнера.

Коэффициенты рассматриваемого многочлена есть целые числа, а коэффициент перед старшей степенью переменной (т.е. перед $x^6$) равен единице. В этом случае целочисленные корни многочлена нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 45. Для заданного многочлена такими корнями могут быть числа $45; ; 15; ; 9; ; 5; ; 3; ; 1$ и $-45; ; -15; ; -9; ; -5; ; -3; ; -1$. Проверим, к примеру, число $1$:

Как видите, значение многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ при $x=1$ равно $192$ (последнее число в второй строке), а не $0$, посему единица не является корнем данного многочлена. Так как проверка для единицы окончилась неудачей, проверим значение $x=-1$. Новую таблицу для этого составлять не будем, а продолжим использование табл. №1, дописав в нее новую (третью) строку. Вторую строку, в которой проверялось значение $1$, выделим красным цветом и в дальнейших рассуждениях использовать её не будем.

Можно, конечно, просто переписать таблицу заново, но при заполнении вручную это займет немало времени. Тем более, что чисел, проверка которых окончится неудачей, может быть несколько, и каждый раз записывать новую таблицу затруднительно. При вычислении «на бумаге» красные строки можно просто вычёркивать.

Итак, значение многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ при $x=-1$ равно нулю, т.е. число $-1$ есть корень этого многочлена. После деления многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ на бином $x-(-1)=x+1$ получим многочлен $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$, коэффициенты которого взяты из третьей строки табл. №2 (см. пример №1). Результат вычислений можно также представить в такой форме:

Продолжим поиск целочисленных корней. Теперь уже нужно искать корни многочлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Опять-таки, целочисленные корни этого многочлена ищут среди делителей его свободного члена, – числа $45$. Попробуем ещё раз проверить число $-1$. Новую таблицу составлять не будем, а продолжим использование предыдущей табл. №2, т.е. допишем в нее еще одну строку:

Итак, число $-1$ является корнем многочлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Этот результат можно записать так:

Учитывая равенство (2), равенство (1) можно переписать в такой форме:

Теперь уже нужно искать корни многочлена $x^4-22x^2+24x+45$, – естественно, среди делителей его свободного члена (числа $45$). Проверим еще раз число $-1$:

Число $-1$ является корнем многочлена $x^4-22x^2+24x+45$. Этот результат можно записать так:

С учетом равенства (4), равенство (3) перепишем в такой форме:

Теперь ищем корни многочлена $x^3-x^2-21x+45$. Проверим еще раз число $-1$:

Проверка окончилась неудачей. Выделим шестую строку красным цветом и попробуем проверить иное число, например, число $3$:

В остатке ноль, посему число $3$ – корень рассматриваемого многочлена. Итак, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Теперь равенство (5) можно переписать так:

Читайте также:  Msata ssd что это такое

Проверим ещё раз число $3$:

Полученный результат можно записать так (это продолжение равенства (6)):

Из последней скобки видно, что число $-5$ также является корнем данного многочлена. Можно, конечно, формально продолжить схему Горнера, проверив значение $x=-5$, но необходимости в этом нет. Итак,

Числа $-1; ; 3; ; 5$ – корни данного многочлена. Причем, так как скобка $(x+1)$ в третьей степени, то $-1$ – корень третьего порядка; так как скобка $(x-3)$ во второй степени, то $3$ – корень второго порядка; так как скобка $(x+5)$ в первой степени, то $x=-5$ – корень первого порядка (простой корень).

Вообще, обычно оформление таких примеров состоит из таблицы, в которой перебираются возможные варианты корней, и ответа:

Из таблицы следует вывод, полученный нами ранее с подробным решением:

Убедиться, что числа $2$ и $-5$ являются корнями многочлена $3x^6+9x^5-28x^4+6x^3-30x^2-30x+100$. Разделить заданный многочлен на биномы $x-2$ и $x+5$.

Степень многочлена $3x^6+9x^5-28x^4+6x^3-30x^2-30x+100$ равна $6$. После деления на два заданных бинома степень заданного многочлена уменьшится на $2$, т.е. станет равна $4$.

Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целочисленных корней метод довольно-таки неплох.

Разделы: Математика

Цели урока:

  • научить учащихся решать уравнения высших степеней используя схему Горнера;
  • воспитывать умение работать в парах;
  • создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;
  • помочь ученику оценить свой потенциал, развивать интерес к математике, умение мыслить, высказываться по теме.

Оборудование: карточки для работы в группах, плакат со схемой Горнера.

Метод обучения: лекция, рассказ, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверка задач самостоятельного решения, самостоятельная работа.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний учащихся

— Какая теорема позволяет определить, является ли число корнем данного уравнения (сформулировать теорему)?

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-с равен Р(с), число с называют корнем многочлена Р(х), если Р(с)=0. Теорема позволяет, не выполняя операцию деления, определить, является ли данное число корнем многочлена.

— Какие утверждения облегчают поиск корней?

а) Если старший коэффициент многочлена равен единице, то корни многочлена следует искать среди делителей свободного члена.

б) Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то один из корней равен 1.

в)Если сумма коэффициентов стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах, то один из корней равен -1.

г) Если все коэффициенты положительны, то корнями многочлена являются отрицательные числа.

д) Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Изучение нового материала

При решении целых алгебраических уравнений приходиться находить значения корней многочленов. Эту операцию можно существенно упростить, если проводить вычисления по специальному алгоритму, называемому схемой Горнера. Эта схема названа в честь английского ученого Уильяма Джорджа Горнера. Схема Горнера это алгоритм для вычисления частного и остатка от деления многочлена Р(х) на х-с. Кратко, как он устроен.

Читайте также:  Assassins creed origins быстрое перемещение

Пусть дан произвольный многочлен Р(х)=ах n + а1х n-1 + …+ аn-1х+ аn. Деление этого многочлена на х-с – это представление его в виде Р(х)=(х-с)g(х) + r(х). Частное g(х)=вх n-1 + вnх n-2 +…+вn-2х + вn-1, где в, вn=свn-1n, n=1,2,3,…n-1. Остаток r(х)= свn-1n . Этот метод вычисления и называется схемой Горнера. Слово « схема» в названии алгоритма связана с тем, что обычно его выполнение оформляют следующим образом. Сначала рисуют таблицу 2(n+2). В левой нижней клетке записывают число с, а в верхней строке коэффициенты многочлена Р(х). При этом левую верхнюю клетку оставляют пустой.

РЕШЕНИЕ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

4x 3 — 19x 2 + 19x + 6 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 4 — 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -4 — 19 — 19 + 6 = -36 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 4 ∙ 8 — 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

4 -19 19 6
2

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

4 -19 19 6
2 4
Во вторую ячейку второй строки запишем число 1, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
4 -19 19 6 2 4 -11 2 ∙ 4 — 19 = -11
4 -19 19 6 2 4 -11 -3 2 ∙ (-11) + 19 = -3
4 -19 19 6 2 4 -11 -3 2 ∙ (-3) + 6 = 0

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

4x 3 — 19x 2 + 19x + 6 = (x — 2)(4x 2 — 11x — 3)

И теперь, всего лишь, осталось найти корни квадратного уравнения

4x 2 — 11x — 3 = 0
D = b 2 — 4ac = (-11) 2 — 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D > 0 ⇒ уравнение имеет 2 корня