Сортировка массива методом прямого выбора

Сортировка выбором
Предназначение Алгоритм сортировки
Структура данных Массив
Худшее время О(n 2 )
Лучшее время О(n 2 )
Среднее время О(n 2 )
Затраты памяти О(n) всего, O(1) дополнительно

Сортировка выбором (Selection sort) — алгоритм сортировки. Может быть как устойчивый, так и неустойчивый. На массиве из n элементов имеет время выполнения в худшем, среднем и лучшем случае Θ(n 2 ), предполагая что сравнения делаются за постоянное время.

Содержание

Алгоритм без дополнительного выделения памяти [ править | править код ]

  1. находим номер минимального значения в текущем списке
  2. производим обмен этого значения со значением первой неотсортированной позиции (обмен не нужен, если минимальный элемент уже находится на данной позиции)
  3. теперь сортируем хвост списка, исключив из рассмотрения уже отсортированные элементы

Для реализации устойчивости алгоритма необходимо в пункте 2 минимальный элемент непосредственно вставлять в первую неотсортированную позицию, не меняя порядок остальных элементов.

Покажем, почему данная реализация является неустойчивой.
Рассмотрим следующий массив из элементов, каждый из которых имеет два поля. Сортировка идет по первому полю.
Массив до сортировки:
< (2, a), (2, b), (1, a) >
Уже после первой итерации внешнего цикла будем иметь отсортированную последовательность:
< (1, a), (2, b), (2, a) >
Теперь заметим, что взаимное расположение элементов (2, a) и (2, b) изменилось. Таким образом, рассматриваемая реализация является неустойчивой.

Так как после каждого прохода по внутреннему циклу делается только один обмен, то общее число обменов равно N-1, что в N/2 раз меньше, чем в сортировке пузырьком.
Число проходов по внутреннему циклу равно N-1 даже в случае сортировки частично или полностью отсортированного массива.

Наихудший случай:
Число сравнений в теле цикла равно (N-1)*N/2.
Число сравнений в заголовках циклов (N-1)*N/2.
Число сравнений перед операцией обмена N-1.
Суммарное число сравнений N 2 −1.
Число обменов N-1.

Время сортировки 10000 коротких целых чисел на одном и том же программно-аппаратном комплексе сортировкой выбором составило ≈40сек., а ещё более улучшенной сортировкой пузырьком ≈30сек.

Пирамидальная сортировка сильно улучшает базовый алгоритм, используя структуру данных «куча» для ускорения нахождения и удаления минимального элемента.

Существует также двунаправленный вариант сортировки методом выбора, в котором на каждом проходе отыскиваются и устанавливаются на свои места и минимальное, и максимальное значения.

Алгоритм сортировки прямым выбором в некотором смысле противоположен сортировке прямыми включениями.

При прямом включении на каждом шаге рассматривается только один очередной элемент входной последовательности и все элементы готовой последовательности для нахождения места включения.

При прямом выборе для поиска одного элемента с наименьшим ключом просматриваются все элементы входной последовательности и найденный элемент помещается как очередной элемент в конец готовой последовательности.


  • Реализация сортировки прямым выбором на Си

    Анализ алгоритма прямым выбором

    Число сравнений ключей С не зависит от порядка ключей:

    C=½(n 2 -n).

    Число перестановок минимально

    Mmin=3(n-1)

    в случае изначально упорядоченных ключей и максимально

    Mmax= n2/4 +3(n-1),

    если первоначально ключи располагаются в обратном порядке.

    Среднее число пересылок

    Mср≈n(ln n + g),

    где g = 0,577216... — константа Эйлера.

    Резюме : как правило, сортировка прямым выбором предпочтительнее алгоритму прямого включения, однако, если ключи в начале упорядочены или почти упорядочены, прямое включение будет оставаться несколько более быстрым.

    В чём идея сортировок выбором?

    1. В неотсортированном подмассиве ищется локальный максимум (минимум).
    2. Найденный максимум (минимум) меняется местами с последним (первым) элементом в подмассиве.
    3. Если в массиве остались неотсортированные подмассивы — смотри пункт 1.

    Небольшое лирическое отступление. Изначально в своей серии статей я планировал последовательно излагать материал о классах сортировок в порядке строгой очереди. После библиотечной сортировки планировались статьи о прочих вставочных алгоритмах: пасьянсная сортировка, сортировка таблицей Юнга, сортировка выворачиванием и т.д.

    Однако, сейчас в тренде нелинейность, поэтому, не написав ещё все публикации про сортировки вставками, сегодня начну параллельную ветку про сортировки выбором. То же самое потом сделаю для других алгоритмических классов: сортировок слиянием, сортировок распределением и т.п. Это в целом позволит писать публикации то по одной теме, то по другой. С таким тематическим чередованием будет веселее.

    Просто и незатейливо — проходим по массиву в поисках максимального элемента. Найденный максимум меняем местами с последним элементом. Неотсортированная часть массива уменьшилась на один элемент (не включает последний элемент, куда мы переставили найденный максимум). К этой неотсортированной части применяем те же действия — находим максимум и ставим его на последнее место в неотсортированной части массива. И так продолжаем до тех пор, пока неотсортированная часть массива не уменьшится до одного элемента.

    Сортировка простым выбором представляет из себя грубый двойной перебор. Можно ли её улучшить? Разберём несколько модификаций.

    Похожая идея используется в шейкерной сортировке, которая является вариантом пузырьковой сортировки. Проходя по неотсортированной части массива, мы кроме максимума также попутно находим и минимум. Минимум ставим на первое место, максимум на последнее. Таким образом, неотсортированная часть при каждой итерации уменьшается сразу на два элемента.

    На первый взгляд кажется, что это ускоряет алгоритм в 2 раза — после каждого прохода неотсортированный подмассив уменьшается не с одной, а сразу с двух сторон. Но при этом в 2 раза увеличилось количество сравнений, а число свопов осталось неизменным. Двойной выбор лишь незначительно увеличивает скорость алгоритма, а на некоторых языках даже почему-то работает медленнее.

    Может показаться, что сортировки выбором и сортировки вставками — это суть одно и то же, общий класс алгоритмов. Ну, или сортировки вставками — разновидность сортировок выбором. Или сортировки выбором — частный случай сортировок вставками. И там и там мы по очереди из неотсортированной части массива извлекаем элементы и перенаправляем их в отсортированную область.

    Читайте также:  C инициализация массива нулями

    Главное отличие: в сортировке вставками мы извлекаем из неотсортированной части массива любой элемент и вставляем его на своё место в отсортированной части. В сортировке выбором мы целенаправленно ищем максимальный элемент (или минимальный), которым дополняем отсортированную часть массива. Во вставках мы ищем куда вставить очередной элемент, а в выборе — мы заранее уже знаем в какое место поставим, но при этом требуется найти элемент, этому месту соответствующий.

    Это делает оба класса алгоритмов совершенно отличными друг от друга по своей сути и применяемым методам.

    Интересной особенностью сортировки выбором является независимость скорости от характера сортируемых данных.

    Например, если массив почти отсортирован, то, как известно, сортировка вставками его обработает гораздо быстрее (даже быстрее чем быстрая сортировка). А реверсно упорядоченный массив для сортировки вставками является вырожденным случаем, она будет его сортировать максимально долго.

    А для сортировки выбором частичная или реверсная упорядоченность массива роли не играет — она обработает его примерно с той же скоростью что и обычный рандом. Также для классической сортировки выбором неважно, состоит ли массив из уникальных или повторяющихся элементов — на скорость это практически не влияет.

    Но в принципе, можно исхитриться и модифицировать алгоритм так, чтобы при некоторых наборах данных работало быстрее. Например, бинго-сортировка учитывает, если массив состоит из повторяющихся элементов.

    Здесь фокус в том, что в неупорядоченной части запоминается не только максимальный элемент, но и определяется максимум для следующей итерации. Это позволяет при повторяющихся максимумах не искать их заново каждый раз, а ставить на своё место сразу как только этот максимум в очередной раз встретили в массиве.

    Алгоритмическая сложность осталась та же. Но если массив состоит из повторяющихся чисел, то бинго-сортировка справится в десятки раз быстрее, чем обычная сортировка выбором.

    Цикличная сортировка интересна (и ценна с практической точки зрения) тем, что изменения среди элементов массива происходят тогда и только тогда, когда элемент ставится на своё конечное место. Это может пригодиться, если перезапись в массиве — слишком дорогое удовольствие и для бережного отношения к физической памяти требуется свести к минимуму количество изменений элементов массива.

    Работает это так. Перебираем массив, назовём X очередную ячейку в этом внешнем цикле. И смотрим на какое место в массиве нужно вставить очередной элемент из этой ячейки. На том месте, куда нужно вставить находится какой-то другой элемент, его отправляем в буфер обмена. Для этого элемента в буфере тоже ищем его место в массиве (и вставляем на это место, а в буфер отправляем элемент, оказавшийся в этом месте). И для нового числа в буфере производим те же действия. До каких пор должен продолжаться этот процесс? Пока очередной элемент в буфере обмена не окажется тем элементом, который нужно вставить именно в ячейку X (текущее место в массиве в главном цикле алгоритма). Рано или поздно этот момент произойдёт и тогда во внешнем цикле можно перейти к следующей ячейке и повторить для неё ту же процедуру.

    Читайте также:  Видеокарта asus gaming series lets game

    В других сортировках выбором мы ищем максимум/минимум, чтобы поставить их на последнее/первое место. В cycle sort так получается, что минимум на первое место в подмассиве как бы находится сам, в процессе того, как несколько других элементов ставятся на свои законные места где-то в середине массива.

    И здесь алгоритмическая сложность так же остаётся в пределах O(n 2 ). На практике цикличная сортировка работает даже в несколько раз медленнее, чем обычная сортировка выбором, так как приходится больше бегать по массиву и чаще сравнивать. Это цена за минимально возможное количество перезаписей.

    Алгоритм, который освоили все уровни жизни — от бактерий до Билла Гейтса.

    В самом простом варианте мы в неотстортированной части массива ищем максимальный элемент. Когда максимум найден — делаем два резких разворота. Сначала переворачиваем цепочку элементов так, чтобы максимум оказался на противоположном конце. Затем переворачиваем весь неотсортированный подмассив, в результате чего максимум попадает на своё место.

    Подобные кордибалеты, вообще говоря, приводят к алгоритмической сложности в O(n 3 ). Это дрессированные инфузории кувыркаются одним махом (поэтому в их исполнении сложность O(n 2 )), а при программировании разворот части массива — это дополнительный цикл.

    Блинная сортировка очень интересна с математической точки зрения (лучшие умы размышляли над оценкой минимального количества переворотов, достаточных для сортировки), есть более сложные постановки задачи (с так называемой подгоревшей одной стороной). Тема блинов крайне интересная, возможно, напишу более обстоятельную монографию по этим вопросам.

    Сортировка выбором эффективна настолько, насколько эффективно организован поиск минимального/максимального элемента в неотсортированной части массива. Во всех разобранных сегодня алгоритмах поиск осуществляется в виде двойного перебора. А у двойного перебора, как ни крути, алгоритмическая сложность будет всегда не лучше чем O(n 2 ). Значит ли это, что все сортировки выбором обречены на средне-квадратичную сложность? Вовсе нет, если процесс поиска организовать принципиально по-другому. Например рассмотреть набор данных как кучу и производить поиск именно в куче. Однако тема кучи — это даже не на статью, а на целую сагу, о кучах поговорим обязательно, но в другой раз.

    Ссылки

    Selection / Выбор, Cycle, Pancake / Блины

    “>