Связь координат вектора в ортонормированном базисе

Проекция вектора

Под углом между векторами понимается угол между векторами равными данным и имеющими общее начало. Если направление отсчета угла не указано, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит π. Если один из векторов нулевой то угол считается равным нулю. Если угол между векторами прямой то векторы называются ортогональными.

Определение: Ортогональной проекцией вектора на направление вектора называется скалярная величина , φ – угол между векторами.

Модуль этой скалярной величины равен длине отрезка OA.

Если угол φ острый проекция является положительной величиной, если угол φ тупой – проекция отрицательна, если угол φ прямой – проекция равна нулю.

При ортогональной проекции угол между отрезками OA и AA прямой. Существуют проекции, у которых этот угол отличен от прямого.

Проекции векторов обладают следующими свойствами:

1. (проекция суммы равна сумме проекций);

2. (проекция произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на число).

Базис называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны.

Ортогональный базис называется ортонормированным, если его векторы по длине равны единице. Для ортонормированного базиса в пространстве часто используют обозначения .

Теорема: В ортонормированном базисе координаты векторов есть соответствующие ортогональные проекции этого вектора на направления координатных векторов.

Пример: Пусть вектор единичной длины образует с вектором ортонормированного базиса на плоскости угол φ, тогда .

Пример: Пусть вектор единичной длины образует с векторами , и ортонормированного базиса в пространстве углы α, β, γ, соответственно (рис. 5), тогда . Причем . Величины cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора

Скалярное произведение
Определение:
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю.

Скалярное произведение векторов и обозначается через [или ; или ]. Если φ – угол между векторами и , то .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. (коммутативность).

2. (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).

3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них нулевой.

4. .

5. .

6. .

Векторное произведение

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной (правой), если после приложения к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левоориентированной (левой).

Читайте также:  Из чего состоит сетевая карта

Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. где φ – угол между векторами и ;

2. вектор ортогонален вектору , вектор ортогонален вектору ;

3. упорядоченная тройка векторов является правой.

Если один из векторов нулевой, то векторное произведение есть нулевой вектор.

Векторное произведение вектора на вектор обозначается <либо >.

Теорема: Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Теорема: Длина (модуль) векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Пример: Если – правый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Если – левый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Пусть, а ортогонален к . Тогда получается из вектора поворотом вокруг вектора на по часовой стрелке (если смотреть из конца вектора ).

Пример: Если дан вектор , то каждый вектор можно представить в виде суммы , где – ортогонален , а – коллинеарен . Легко видеть, что .

Действительно, можно заметить, что . Вектор компланарен векторам и , а потому и коллинеарны. Легко видеть (рис. 12), что они одинаково направлены.

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. (антикоммутативность);

Действительно, из определения следует, что модуль векторного произведения не зависит от порядка сомножителей. Точно так же вектор коллинеарен вектору . Однако, переставляя сомножители, мы должны изменить направление произведения, чтобы было выполнено условие 3) определения. Действительно, если , , – правая тройка, то , , – левая, а , , – снова правая тройка.

2. ;

Если φ – угол между векторами и , то . Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, лежат на прямой, перпендикулярной и . При λ > 0 и вектор и вектор направлены так же, как . Если λ

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент – человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10810 – | 7380 – или читать все.

Дайте определение несовместной системы уравнений. Может ли однородная система

Уравнений быть несовместной? Ответ обоснуйте

Система линейных алгебраических уравнений называется несовместной, если у неё нет ни одного решения. ОСЛАУ (свободные члены всегда нули) всегда совместна, т.к. имеет хотя бы одно решение.

Читайте также:  Распечатать две страницы на одном листе word

Сформулируйте определение линейно зависимой системы векторов. Приведите

Пример. Будет ли линейно зависима система векторов, включающая нулевой вектор? Ответ

Обоснуйте.

Система векторов v1,v2,v3,…,vk называется линейно зависимой, если в нулевой линейной комбинации хотя бы один коэффициент не равен нулю. Пример: a=(1;0;0), b=(0;1;0), c=(-2;3;0).

Векторы компланарны, следовательно, система линейно зависима. Система, включающая нулевой вектор, линейно зависима.

Док-во: Рассмотрим систему векторов a1,a2,a3,…,an,0. Очевидно, существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулю-вектору: 0*a1+0*a2+0*an+1*0=0.

Сформулируйте определение линейно независимой системы векторов. Докажите, что

Лестничная система из трех векторов линейно независима.

Система векторов v1,v2,v3,…,vk называется линейно независимой, если нулевая линейная комбинация с1v12v2+…+с kvk =0 возможна только при нулевых коэффициентах с12,=…=с k=0.

Теорема: любая лестничная система из трех векторов линейно независима. Док-во: Допустим противное: векторы линейно зависимы, т.е. один из данных векторов должен линейно выражаться через остальные: a=β*b+γ*c, следовательно,

Значит, допущение неверно, и лестничная система линейно независима.

Дайте определение базиса линейного пространства. Докажите единственность

Разложения вектора по базису.

Базис линейного пространства – это такая линейно независимая упорядоченная система векторов, что любой вектор пространства разлагается по векторам системы (является линейной комбинацией или линейно выражается). V=α1v1+ α 2v2+…+ α kvk

Сформулируйте и докажите неравенство Коши-Буняковского.

Если v, w – два любых вектора евклидова пространства, то (v*w) 2 ≤(v) 2 *(w) 2

Док-во: Если v=0, следовательно, 0≤0 2 *w 2 выполнено. Пусть v≠0. Введем новый вектор ƛ*v+w, где ƛ ϵ R. Тогда (ƛ*v+w)*(ƛ*v+w)≥0 (по свойству скалярного произведения), следовательно, (ƛ * v) 2 +2ƛ*v*w+w 2 ≥0, преобразуем выражение, v 2 * ƛ 2 +ƛ*(2v*w)+w 2 ≥0 – квадратный трехчлен относительно ƛ неотрицателен. Значит, его Д≤0. Д/4=(v*w) 2 -v 2 *w 2 ≤0, следовательно (v*w) 2 =v 2 *w 2 .

45. Сформулируйте и докажите неравенство треугольника.

Если v, w – два любых вектора евклидова пространства, то ǀv+wǀ≤ǀvǀ+ǀwǀ.

Док-во: Если v, w – два произвольных вектора евклидова пространства, то ǀv+wǀ 2 =(v+w)(v+w)=v*v+2v*w+w*w=v 2 +2v*w+w 2 ≤ǀvǀ 2 +2ǀv*wǀ+ǀwǀ 2 ≤ǀvǀ 2 +2ǀvǀ*ǀwǀ+ǀwǀ 2 =(ǀvǀ+ǀwǀ) 2 , следовательно, ǀv+wǀ≤ǀvǀ+ǀwǀ.

Дайте определение ортогонального базиса. Выведите формулы для вычисления

координат вектора в ортогональном базисе.

Базис конечномерного евклидова пространства называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны.

Читайте также:  Как правильно сверлить толстый металл

Для выведения формул для вычисления координат вектора в ортогональном базисе составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе:

Умножим обе части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор . В силу свойств 2 и 3 скалярного произведения векторов имеем:

Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (12.13) все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т. е. коэффициент α1 определяется по формуле:

Умножая поочередно равенство (12.14) на другие базисные векторы, мы получаем простую формулу для вычисления коэффициентов разложения вектора: Соотношения имеют смысл, при ǀeiǀ≠0.

47. Дайте определение ранга матрицы. Приведите примеры матриц порядка 3 × 3 рангов

1, 2, 3.

Рангом матрицы А (обозначается rk(A)) называется ранг системы векторов, образуемых строками (или столбцами) матрицы. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк (столбцов).

48. Дайте определения вырожденной и невырожденной матриц. Приведите примеры таких матриц порядка 3 × 3 .

Вырожденной матрицей называется матрица А, строки которой линейно зависимы.

=0 => вырожденная

Невырожденной матрицей называется матрица А, если строки которой линейно независимы.

=5 => невырожденная

Решение №237: Описание отсутствует Подробней
Поделитесь ссылкой пожалуйста:
Надоела реклама? VIP-пользователи её не видят вообще! Зарегистрированные пользователи не видят видео-рекламу.
  • Статьи
  • Новости
  • Бесплатные программы
  • Советы студенту
  • Экономия
  • Льготы и преимущества
  • Новости ВУЗов
  • Разное
  • Разделы
  • ВУЗы
  • Общие файлы
  • Лекции
  • Правила сайта
  • FAQ
  • Правообладателям
  • Ответы на тесты
  • Теги
  • Статистика
  • Мобильная версия
  • Архив
  • Термины
  • Нано-блог
  • Обзоры
  • Статьи
  • Задачи
  • Карта задач
  • Досье на преподавателей
  • Файловый архив
  • Учебные материалы
  • К экзамену/зачёту
  • Книги и методические указания
  • Контрольные работы и аттестации
  • Курсовые/домашние работы
  • Лабораторные работы
  • Лекции и семинары
  • Рефераты, доклады и презентации
  • Диссертации
  • Остальное

Для добавления файла нужно быть зарегистрированным пользователем. Зарегистрироваться и авторизоваться можно моментально через социальную сеть "ВКонтакте" по кнопке ниже:

Вы можете зарегистрироваться стандартным методом и авторизоваться по логину и паролю с помощью формы слева.

Не забывайте, что на публикации файлов можно заработать.