Теорема о точной верхней грани числового множества

Докажем еще одну теорему, которая опирается на свойство непрерывности действительных чисел.

Терема о существовании верхней (нижней) грани.Сначала введем несколько определений.

Определение. Числовое множество X называется ограниченным сверху, если существует число М такое, что x ≤ M для всякого элемента x из множества X .

Определение. Числовое множество X называется ограниченным снизу, если существует число m такое, что x ≥ m для всякого элемента x из множества X .

Определение. Числовое множество X называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

В символической записи эти определения будут выглядеть следующим образом:

множество X ограничено сверху, если ∃M ∀x ∈ X : x ≤ M ,

ограничено снизу, если ∃m ∀x ∈ X : x ≥ m и

ограничено, если ∃m, M ∀x ∈ X : m ≤ x ≤ M .

Пустое множество будем считать ограниченным по определению.

Определение. Для любого числа a R неотрицательное число

называется его абсолютной величиной или модулем. Для абсолютных величин чисел справедливо неравенство |a+b|

Очевидно, что равенство = sup X равносильно двум условиям:

1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≤ , т.е. – верхняя граница множества X ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε > −ε , т.е. эту границу нельзя улучшить (уменьшить).

Аналогично, можно доказать, что если множество ограничено снизу, то оно имеет точную нижнюю границу, которая называется также нижней гранью или инфимумом множества X и обозначается inf X . Равенство =inf X равносильно условиям:

1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≥ ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство

Свойство 3. Пусть X1 и X2 – числовые множества. Обозначим через X1+X2 множество и через X1 − X2 множество . Тогда sup(X1 + X2)=supX1+supX2, inf(X1+X2)=infX1 +inf X2 , sup(X1 − X2) = sup X1 − inf X2 и inf (X1 − X2) = inf X1 − sup X2 .

Свойство 4. Пусть X1 и X2 – числовые множества, все элементы которых неотрицательны. Тогда sup (X1*X2) = sup X1 *sup X2 , inf (X1*X2) = inf X1* inf X2 .

Докажем например первое равенство свойства 3. Пусть x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 и x=x1+x2. Тогда x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X2 и x ≤ sup X1 + sup X2 , откуда sup(X1 + X2) ≤ sup X1 + sup X2 .

Чтобы доказать противоположное неравенство, возьмем число y

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Читайте также:  Год создания первого компьютера в мире

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8556 – | 7410 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Верхняя и нижняя грани числовых множеств.

Множество X вещественных чисел (X ⊂ (mathbb)) называется ограниченным сверху, если существует вещественное число C такое, что все элементы множества X не превосходят C, то есть
$$
exists C in mathbb
: forall x in X
ightarrow x leq C.label
$$

Всякое вещественное число C, обладающее свойством eqref, называется верхней гранью числового множества X.

Аналогично, множество X ⊂ (mathbb) называется ограниченным снизу, если
$$
exists C’inmathbb
: forall x in X
ightarrow x geq C’.label
$$

Всякое вещественное число С ‘ , удовлетворяющее условию eqref, называют нижней гранью числового множества X.

Если числовое множество множество ограничено как сверху, так и снизу, его называют ограниченным, то есть <X — ограниченное множество>(Leftrightarrowleft <exists C’in mathbb exists Cinmathbb: forall xin X
ightarrow C’ leq x leq C
ight>).

Записать ⌉A с помощью кванторов, если A = <C — верхняя грань множества X ⊂ (mathbb)>.

По условию (B=left<exists C in mathbb: forall x in X
ightarrow x geqslant C
ight>). Поэтому
$$
ceil B=left<forall C in mathbb
: exists x_C in X
ightarrow x_C Определение 1.

Число M называется точной верхней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:

  1. $$forall x in X
    ightarrow x leq Mlabel$$
  2. $$forallalpha alphalabel$$

Число M = sup X, вообще говоря, может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X. Например, если X — множество чисел x таких, что 1 ≤ x Замечание 2.

Из определения точной верхней грани множества следует, что если у числового множества X есть точная верхняя грань M, то она единственна.

Число m называется точной нижней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:

  1. $$forall x in X
    ightarrow x geqslant m
    onumber$$
  2. $$foralleta > m exists x_etain X: x_eta m exists x_etain X: x_eta Теорема 1

Если непустое множество вещественных чисел X ограничено сверху, то существует sup X; если непустое множество X ограничено снизу, то существует inf X.

Докажем существование верхней точной грани. По условию множество X не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент. Возможны два случая:

  1. множество X содержит хотя бы одно неотрицательное число;
  2. все элементы множества X отрицательны.
Читайте также:  Amd radeon hd 7770 2gb

Первый случай. Предположим, что все элементы множества X неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху, а значит выполняется условие eqref. Пусть C=c,c1c2…cn; тогда c — неотрицательное целое число, причем C x’.label$$

Возьмем произвольное число xX и пусть x = a,<an>. Чтобы проверить выполнение условия eqref, рассмотрим три произвольных случая:

$$x
otin X_k при k=0,1,2,…,label$$

$$xin X_k при k=0,1,2,…,label$$

$$exists m: xin X_, x
otin X_label$$

Из eqref следует, что (a_0

Во втором случае условию eqref удовлетворяет произвольный элемент (widetilde xin X_m), так как

Второй случай. Если все элементы множества X отрицательны, то произвольный элемент xX записываются в виде

Пусть (a_0^ast) — наименьшее из чисел a в записи eqref для всех xX, (a_1^ast) — наименьший из первых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых (a_0=a_0^ast); (a_2^ast) — наименьший из вторых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых (a_0=a_0^ast, a_1=a_1^ast) и т.д. Указанным способом определяется число (x^ast=-a_0^ast,a_1^ast…a_n^ast…=-a_0^ast,left\). По аналогии с первым случаем доказывается, что число x * является точной верхней гранью множества.

Если X и Y — непустые множества вещественных чисел такие, что для любого xX и любого yY справедливо неравенство $$x leq y,label$$ то существуют sup X и inf Y, причем $$forall xin X и forall yin Y
ightarrow x leq sup X leq inf Y leq y.label$$

Так как X — непустое множество, ограниченное сверху любым элементом множества Y в силу eqref, то по теореме 1 существует sup Y. Аналогично из ограниченности непустого множества Y снизу любым элементом множества X следует существование inf Y. По определению точных граней $$forall xin X
ightarrow x leq sup X, forall yin Y
ightarrow inf Y leq y.label$$ Из eqref следует, что для доказательства утверждения eqref достаточно показать, что $$sup X leq inf Y.label$$Из неравенства eqref
следует, что каждое число yY является верхней гранью множества X. Точная верхняя грань множества X, то есть число sup X, есть наименьшая из всех верхних граней множества X. Следовательно, для любого yY выполняется неравенство $$sup X leq y.label$$

Из неравенства eqref следует, что sup X есть нижняя грань множества Y. Точная нижняя грань множества Y, то есть число inf Y, есть наибольшая из всех нижних граней множества Y. Значит, sup Xinf Y.

Читайте также:  Acer predator x34p обзор

Пусть ξ — любое вещественное число такое, что $$sup X leq xi leq inf Ylabel$$ Тогда из eqref и eqref следует неравенство $$x leq xi leq y,label$$ которое справедливо для любого xX и любого yY. Про число ξ говорят, что оно отделяет множество X от множества Y. Поэтому теорему 2 часто называют теоремой об отделимости числовых множеств.

Ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних границ, среди которых особенную роль играет найменьшая из них. Число называется точной верхней гранью (границей) , если:

для ‘;" title="forall ‘;" /> (любое число меньшее M верхней гранью не является).

Число называется точной нижней гранью (границей) , если:

для M: exists ‘ in X:‘ M: exists ‘ in X:‘ (любое число меньшее M верхней гранью не является).

(если множество неограничено сверху , то пишем если множество неограничено снизу , то пишем )

Примечание: если не является точной верхней гранью множества и , тогда ‘;" title="exists ‘;" />

если не является точной нижней гранью множества и , тогда M : forall ‘ in X : ‘ M : forall ‘ in X :

Примеры:

Единственность верхних и нижних точных граней

Если множество имеет и , то он единственный .

Пусть множество имеет 2 точных верхних грани: и

Так как и , то M_<1>" title="exists ‘ in X: ‘>M_<1>" />, что противоречит тому факту, что

Аналогично доказывается единственность нижней точной грани.

Практические задания:

Определить точные нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел , удовлетворяющих равенству .

. Так и есть, является верхней границей множества .

Действительно, всякие рациональные (и при этом -sqrt<2>" title="x> -sqrt<2>" />) будут элементами множества , причём . То есть какое бы рациональное число из мы не взяли, можно взять рациональное число из так, что оно будет находиться ближе к на числовой прямой.

Пусть — множество чисел, противоположных числам

Пусть — элемент из множества противоположный элементу из множества .

Распишем точную нижнюю грань для множества по определению: