Выяснить является ли число а корнем многочлена

Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — сделанный для людей. Все решебники выполнены качественно, с приятной навигацией. Вы сможете скачать гдз, решебник английского, улучшить ваши школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал гдз совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Информация

© adminreshak.ru

Пусть $f(x)inmathbb

[x]$ и $f(x)=a_n x^n+a_x^+…+a_1x+a_0$.
Значением многочлена на элементе $alpha$ $(alphainmathbb

)$ называется
$f(alpha)=a_nalpha^n+a_alpha^+…+a_1alpha+a_0inmathbb

$.

Если значение многочлена на элементе $alpha$ равно нулю, т.е. $f(alpha)=0$, то
$alpha$ называется корнем многочлена $f(x)$.

Число $alpha$ называется $k$ кратным корнем многочлена $f(x)$ если многочлен делится на
$(x-alpha)^k$, $k>1$ ($k$ — натуральное число), но не делится на $(x-alpha)^.$

Задача

Является ли число 2 корнем многочлена $f(x)=x^5-5x^4+3x^3+22x^2-44x+24$, и если является — то какой кратности?

Решение

С помощью схемы Горнера определим делится ли $f(x)$ на $(x-2)$. Имеем:

1 -5 3 22 -44 24
2 1 -3 -3 16 -12

Остаток при делении $f (x)$ на $(х-2)$ равен 0, а значит мы можем ответить на первый вопрос поставленной задачи: да, число 2 является корнем многочлена $f (x)$. Осталось выяснить, какой кратности этот корень. Продолжим деление многочлена по схеме Горнера:

1 -5 3 22 -44 24
2 1 -3 -3 16 -12
2 1 -1 -5 6
2 1 1 -3
2 1 3 3

Видно, что $f (x)$ делится на $(х-2)^ 3$, т.е. $f (x) = (x-2)^ 3 (x^2+x-3)$, но не делится на $(х-2)^ 4$. А это значит, что 2 — корень третей кратности многочлена $f(x)$.

Число $alpha$ является корнем кратности $k$ многочлена $f(x)$
тогда и только тогда, когда выполняются равенства:
$$f(x)=0, ;
frac(alpha)=0,…,
fracf>>(alpha)=0, ;
frac(alpha)
e0.
$$

Читайте также:  Это объявление заблокировано модератором

Задача

Найти все значения параметра $m$, при которых многочлен $f(x)=x^4-4m^3x+48$ имеет корень кратности 2.

Здравствуйте
Решим?! :
№6
Выяснить, делится ли нацело многочлен Р (х) на многочлен
1)P (x)= 8x 5 + 2x 4 — 10x 3 — 15x 2 , Q (x) = 4x 2 -5;
2)P (x)= 3x 5 + x4- 6x 3 + 7x, Q (x) = 3x 2 + x;
3)P (x)= x 6 — 4x 4 + 6x, Q (x) = x 2 — 2x;
4)P (x)= x 6 — 3x 4 — x 3 + 2x 2 + x, Q (x) = x 3 + 2x 2 + x.