Задачи на отношения множеств

Разделы: Математика

На математическом кружке вместе с учащимися рассматривался ряд задач, благодаря наглядности которых, процесс решения становится понятным и интересным. На первый взгляд им хочется составить систему уравнений, но в процессе решения остается много неизвестных, что ставит их в тупик. Для того, чтобы уметь решать эти задачи, необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические разделы теории множеств.

Введем определение множества, а так же некоторые обозначения.

Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком.

Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит.

Можно сделать такую запись определения множества:

, где

” – принадлежит;
“=>“ – следовательно;
“ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента.

Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов

Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т.е. если , то , где “С” знак подмножества или включения.

Графически это выглядит так (рис.1):

Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами.

Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2).

Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств.

Это определение можно записать с помощью обозначений:

А υ В, где

где “ υ ” – знак объединения,

“ / ” – заменяет слова ”таких что“

Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко:

А ∩ В = С, где

“∩“ – знак пересечения. (рис.3)

Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где A С Е (“”- любо число), т.е. А Е = Е; АЕ =А

Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается Ā Е или Ā (рис.4)

Е

Примерами для понимания этих понятий являются свойства:

А Ā=Е Ø = Е Е Ā=Ā

Свойства дополнения имеют свойства двойственности:

АВ = А∩В

АВ = АUВ

Введем еще одно понятие – это мощность множества.

Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А.

Из определение следуют свойства:

Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения:

m (AB) =m (A) + m (В) – m (А∩В)

m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (АВ)

m (ABC) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) — m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С).

А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию.

Задача №1

В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек.

По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека.

  1. Сколько учащихся решили все задачи?
  2. Сколько учащихся решили только две задачи?
  3. Сколько учащихся решили только одну задачу?

Задача № 2

Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.

Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?

Задача № 3

В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников.

Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта?

Решение задачи № 1

Запишем коротко условие и покажем решение:

  • m (Е) = 40
  • m (А) = 20
  • m (В) = 18
  • m (С) = 18
  • m (А∩В) = 7
  • m (А∩С) = 8
  • m (В∩С) = 9

m (АВС) = 3 => m (АВС) = 40 – 3 = 37

Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис.5).

К 1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;

К 2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;

К 3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;

Читайте также:  Принтер pantum p2500w горит красная лампочка

К 4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;

К 5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;

К 6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;

К 7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;

К 8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.

Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления:

  • m (К 5 ) = m (А∩В∩С)= m (АВС) — m (А) — m (В) — m (С) + m (А∩В) + m (А∩С) + m (В∩С)
  • m (К 5 ) = 37-20-18-18+7+8+9=5
  • m (К 2 ) = m (А∩В) — m (К 5 ) = 7-5=2
  • m (К 4 ) = m (А∩С) — m (К 5 ) = 8-5=3
  • m (К 6 ) = m (В∩С) — m (К 5 ) = 9-5=4
  • m (К 1 ) = m (А) — m (К 2 ) — m (К 4 ) — m (К 5 ) = 20-2-3-5=10
  • m (К 3 ) = m (В) — m (К 2 ) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 18-2-4-5=7
  • m (К 7 ) = m (С) — m (К4) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 18-3-4-5 =6
  • m (К 2 ) + m (К 4 ) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи;
  • m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу.

Ответ:

5 учеников решили три задачи;

9 учеников решили только по две задачи;

23 ученика решили только по одной задаче.

С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так:

Решение задачи № 2

  • m (АВ) = 33
  • m (АС) = 31
  • m (ВС) = 32
  • m (К 2 ) + m (К 4 ) + m (К 6 ) + m (К 5 ) = 20

Найти m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 )

  • m (АUВ) = m (К 1 ) + m (К 2 ) + m (К 3 ) + m (К 4 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) = m (К 1 ) + m (К 3 ) + 20 = 33 =>
  • m (К 1 ) + m (К 3 ) = 33 – 20 = 13
  • m (АUС) = m (К 1 ) + m (К 4 ) + m (К 2 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) + m (К 7 ) = m (К 1 ) + m (К 7 ) + 20 = 31 =>
  • m (К 1 ) + m (К 7 ) = 31 – 20 = 11
  • m (ВUС) = m (К 3 ) + m (К 2 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) + m (К 7 ) + m (К 4 ) = m (К 3 ) + m (К 7 ) + 20 = 32 =>
  • m (К 3 ) + m (К 7 ) = 32 – 20 = 12
  • 2m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 13+11=24
  • 2m (К 1 ) + 12 = 24
  • m (К 3 )= 13-6=7
  • m (К 7 )=12-7=5
  • m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 6+7+5=18

Ответ:

Только одну контрольную работу решили 18 учеников.

Решение задачи № 3

  • m (Е) = 35
  • m (А∩В∩С)= m (К 5 ) = 6
  • m (А∩В)= 15
  • m (А∩С)= 13
  • m (В∩С)= 9

Найти m (К1) + m (К3) + m (К 7 )

  • m (К 2 ) = m (А∩В) — m (К 5 ) = 15-6=9
  • m (К 4 ) = m (А∩С) — m (К 5 ) = 13-6=7
  • m (К 6 ) = m (В∩С) — m (К 5 ) = 9-6=3
  • m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = m (Е) — m (К 4 ) — m (К 2 ) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 35-7-9-3-6=10

Ответ:

Только одним видом транспорта пользуется 10 учеников.

Литература: А.Х. Шахмейстер «Множества. Функции. Последовательности»

На этой странице вы найдете готовые примеры по бинарным отношениям. Типовые задачи снабжены подробным решением, формулами, пояснениями. Используйте их, чтобы научиться решать подобные задачи или закажите решение своей работы нам.

Основные темы заданий : способы задания отношения (аналитический, прямой, графический), граф и матрица отношения, свойства бинарного отношения (рефлексивность, симметричность, транзитивность, эквивалентность) и проверка их с помощью матрицы отношения и напрямую; разбиения и фактор-множества, отношения порядка и диграмма Хассе, функциональные отношения и их свойства.

Задачи с решениями о бинарных отношения онлайн

Задача 1. Определите свойства следующих отношений:
1. «прямая x пересекает прямую y» (на множестве прямых)
2. «число x больше числа y на 2» (на множестве натуральных чисел)
3. «число x делится на число y без остатка» (на множестве натуральных чисел)
4. «x — сестра y» (на множестве людей).

Задача 3. Найти область определения, область значений отношения Р. Является ли отношение Р рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным.

Задача 4. Дано множество $А = < gt, lt, ge, le>$. Записать декартовое произведение $А imes А$. Задать 2 бинарных отношения $R_1$ и $R_2$, мощность которых равна 3 и 4 соответственно. Найдите соответствующие замыкания обоих отношений. Изобразите ориентированные графы и запишите матрицы для отношений $R_1$ и $R_2$ и соответствующих замыканий. Вычислите $R_1^<-1>$, $R_2^<-1>$, $R_2 cdot R_1$. Изобразите соответствующие ориентированные графы и запишите соответствующие матрицы.

Задача 5. Отношение $R$ на множестве $Х =$ задано матрицей.
Каковы свойства отношения $R$? Как выглядят матрицы отношений $R^<-1>$, $R cdot R$?

Задача 6. Дано множество $A = <1,2,3,4,5>$ и бинарное отношение $R subset A imes A$:
Проверить, является ли $R$ отношением эквивалентности. Добавить минимальное возможное число пар, чтобы $R$ стало отношением эквивалентности. Найти разбиение $P$.

Задача 7. Доказать, что для любых бинарных отношений

Задача 8. Доказать истинность следующего утверждения: если $Р$ и $S$ – антисимметричны, то $P cap S$ – антисимметрично.

Задача 9. Для заданных на множестве $А=<1,2,3,4,5>$ бинарных отношений $
ho$ и $ au$:
а) записать матрицы и построить графики;
б) найти композицию $
ho circ au$;
в) исследовать свойства отношений $
ho$, $ au$ и $
ho circ au$ (рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность).

Задача 10. На множестве вещественных чисел $R$ задано бинарное отношение $a
ho b$ $ Leftrightarrow a^2 + a = b^2 + b$. Докажите, что $
ho$ – отношение эквивалентности. Сколько элементов в классе эквивалентности?

Читайте также:  Lakost08 no ip org

Задача 11. Для бинарного отношения $
ho$ между элементами множеств $A = <1,2,3,4,5>$, $B = <<1>, <1,2>, <2,5>, <3>>$, $a
ho X Leftrightarrow a
otin X$ найдите область определения $D_
ho$ и область значений $R_
ho$?

Задача 12. Дано множество $X=<1,2,3,6>$ и отношение $R=<(x,y) | x,y in X, x — $ делитель $y>$. Показать, что отношение $R$ является отношением порядка. Построить диаграмму Хассе частично упорядоченного множества $(X, R)$. Существует ли в множестве $X$ наибольший и наименьший элементы? Существуют ли несравнимые элементы?

Решение задач об отношениях на заказ

Выполняем для студентов очников и заочников решение заданий, контрольных и практических работ по любым разделам теории бинарных отношений на заказ. Также оказываем помощь в сдаче тестов. Подробное оформление, таблицы, графики, пояснение, использование специальных программ при необходимости. Стоимость примера от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 2 дней.

Бинарные отношения: основные сведения

Бинарным отношением $R$ называется подмножество пар $(a,b)in R$ декартова произведения $A imes B$, т. е. $R subseteq A imes B$. При этом множество $A$ называют областью определения отношения $R$, множество $B$ – областью значений.

Записывается это так: $aRb$ (т. е. $a$ и $b$ находятся в отношении $R$, пара $(a,b)$ принадлежит отношению $R$).

Отношение может задаваться: словесно, в виде формулы или функции, списком своих пар, матрицей отношения, графом отношения, или точечным графиком.

Отношения могут обладать (или не обладать, что требуется проверять в учебных задачах) следующими свойствами: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность.

Если для бинарного отношения выполняются свойства рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, оно называется отношением порядка.

Если для бинарного отношения выполняются свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности, оно называется отношением эквивалентности. Оно разбивает все пары на классы эквивалентности.

Для бинарных отношений (также как и для множеств) задаются операции объединения, пересечения, разности, дополнения, а также обратное отношение и композиция отношений.

Відображення документу є орієнтовним і призначене для ознайомлення із змістом, та може відрізнятися від вигляду завантаженого документу. Щоб завантажити документ, прогорніть сторінку до кінця

Множества и его элементы

УРОК 9 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. Самостоятельная работа.

Цель: Систематизация знаний по теме «Множества и его элементы».

Повторение, проверка д/з:

Что обозначает слово «множество»?

Что мы называем элементом множества?

Что бывает элементами множества?

Как различают множества по числу элементов?

Какими способами можно задать множество? (перечисление элементов, характеристическое свойство)

Какое свойство называется характеристическим свойством?

Какие множества называются равными?

Какие математические «иероглифы» мы используем для сокращенной записи?

Что такое подмножество?

Что такое круги Эйлера? Зачем они? (Круги Эйлера – геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления)

Что такое объединение множеств? Знак объединения.

Что такое пересечение множеств? Знак пересечения. Решить упражнение 1.

Что такое разность множеств? Знак разности. Проверить упражнения 1, 2 из д/з.

Что такое дополнение множества?

Решить упражнение 2, 3, 4.

Проверить упражнения из домашнего задания:

Найти разность множеств: К = <1; 2; 3; 7; 8; 9>и М = <0; 2; 8>. Решение: К М = <1; 3; 7; 9>.

Найти: а) А В; б) В А; в) (А В) ∪ (В А). Решение: а) А В = < a ; b >; б) В А = ; в) (А В) ∪ (В А) = < a ; b >∪ = < a ; b >.

Каждая семья, живущая в нашем доме выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают и газету, и журнал. Сколько семей живет в нашем доме?

Упражнение 1: Даны два множества А = <2; 4; 6; 8; 10>и В = <3; 6; 9; 12>. Найти объединение и пересечение этих множеств.

Упражнение 2: Даны два множества Х = <0; 1; 3; 5>и У = <1; 2; 3; 4>. Найти разность множеств Х и У и разность множеств У и Х. Сделайте вывод.

Упражнение 3: Объяснить рисунки:

Упражнение 4: Какое число является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.

Решение: Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.

Самостоятельная работа (с последующей взаимопроверкой и проверкой)

№ 1 Записать множество А натуральных делителей числа 12.

№ 2 В данном множестве В = <лев, лисица, гиена, слон, рысь>все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Запишите это характеристическое свойство и найдите элемент, не обладающий им.

№ 3 Даны множества: А = <1, 2, 3, 4, 5, 6>и В = <3, 4, 5, 6, 7, 8>. Найти объединение, пересечение и разность этих множеств.

Читайте также:  Itunes служба поддержки apple номер телефона

№ 1 Записать множество А натуральных делителей числа 18.

№ 2 В данном множестве С = <яблоко, груша, огурец, слива, абрикос>все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Запишите это характеристическое свойство и найдите элемент, не обладающий им.

№ 3 Даны множества: А = <3, 4, 5, 6, 7, 8>и В = <4, 5, 6, 7, 8, 9, 10>. Найти объединение, пересечение и разность этих множеств.

№ 2 В = < х│х — хищники>, слон – лишний элемент

№ 2 В = < х│х — фрукты>, огурец – лишний элемент

Проверить упражнение 3 из д/з (все предложенные детьми варианты решений).

Дома вы решаете задачи №3 разными способами. Сегодня на уроке мы разберем их решение, используя круги Эйлера.

Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.

Напомню: круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Упражнение 4: Составьте рассказ по рисунку:

Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

Решим простую задачу, применив круги Эйлера:

Задача 1: В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит пирожное или мороженое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек – пирожное и мороженое. Сколько детей любит только мороженое?

Аналогичным способом можно решить и домашнее упражнение 3. Давайте попытаемся это сделать!

Рассмотрим решение методом кругов Эйлера задач из прошлых д/з:

Задача: Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?

Задача: Из 220 школьников 16 играют в баскетбол, 175 в футбол, 24 не играют в эти игры. Сколько человек одновременно играют в баскетбол и в футбол?

Задача 2: В классе 30 учащихся. Из них 18 человек занимаются в секции легкой атлетики, 10 – плаванием, 3 человека – и тем и другим. Сколько человек не занимается ничем?

Задача 2: Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят . Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Ответ: 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Подведение итогов урока, рефлексия

Мне больше всего удалось…

Для меня было открытием то, что …

За что ты можешь себя похвалить?

Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?

Мои достижения на уроке.

Домашнее задание: упражнения:

Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В, если А = <1; 2; 3; 4; 5; 6>и В = <2; 4; 6; 8; 10; 12>.

Даны множества: А – множество всех натуральных чисел, кратных 10 и В = <1; 2; 3; … 41>. Найти: А ∩ В.

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекабтся коллекционированием?